Установившаяся и неустановившаяся фильтрация газа

ГЛАВА X

УСТАНОВИВШАЯСЯ И НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ГАЗА

Течение газа через пористую среду можно рассматривать как установившееся, когда условия фильтрации со временем не изменяются, или неустановившееся, когда условия со временем изменяются. Падение давления в газовом месторождении при отборе газа является не-установившимся процессом.

Однако при определенных условиях формулы для установившегося течения можно применять и для расчета неустановившегося течения. Такие условия могут существовать при течении газа в зонах, прилегающих к забоям продуктивных скважин, или при работе скважины, которая, как говорят, «стабилизировалась».

Большой материал по установившемуся и неустано-вившемуся течению дан в двух книгах Маскета (Mus-kat) [I. 11, I. 12]. Работы Ван Эвердингена и Херста (Van Everdingen and Hurst) [X. 27], Ароновского, Дженкинса (Aronofsky, Jenkins) и других [X. 1—X. 5, X. 19,

X. X], Писмена, Ричфорда (Peaceman, Rahford) и других [VII. 6, X. 14] и Мак Робертса (Mac Roberts) [X. 21] вместе с книгами Маскета являются основными источниками материала данной главы. Дальнейшее развитие подобных работ дано в трудах Чатаса (Chatas) [X. 7], Меттхыоса, Бронса и Хазебрука (Matthews, Brons and Hazebroek) [X. 22], Корнелла и Катца (Cornelia and Katz) [11.42, X. 11], Джанисека и Катца (Janicek and Katz) [X. 18] и Уарреиа (Warren) [X. 28].

На рис. X. 1, б дано схематическое изображение скважины, дренирующей пласт ограниченной протяженности и пласт достаточно больших размеров, во всяком случае чтобы считать его бесконечным по протяженности (рис. X. 1, а). Изменение давления в скважине вызывает радиальное течение газа в пласте по направлению к скважине или от нее в зависимости от того, уменьшилось или увеличилось давление в скважине.

На рис. X. 2 приведены кривые, характеризующие изменение дебита скважины, работающей при постоянном давлении на забое, или изменение забойного давления при работе с постоянным дебитом газа для установившегося и неустановившегося течения.

В высокопроницаемых пластах характер течения обычно приближается к установившемуся. В малопроницаемых пластах характер течения ближе к неустано-вившемуся. Степень приближения характера течения к установившемуся или неустановившемуся режиму

1

V~ ' \

\

ч

2

Время

\

\

2

Время

б

Рис. X, 2, Примеры установившегося и неустановившегося состояния.

а — случай, когда на скважине под-. держивается постоянное давление; 6 — случай, когда скважина работает с постоянным дебитом,

/ — установившееся состояние: 2 — неустановившееся состояние,

ющая ограниченный (закры*

/ — скважина; 2 — пласт, простираю* щийся до бесконечности; 3 — ограниченный продуктивный пласт.

определяется, кроме проницаемости, и по другим параметрам пласта, которые будут рассматриваться ниже.

Общий характер распределения давления в пласте при неустановившемся течении к единичной скважине, эксплуатируемой с постоянным дебитом, показан на рис, X, 3. При установившемся течении изменение градиента давления в выбранных координатах (р для жидкостей или р² для газов в зависимости от логарифма расстояния) изображается прямой линией, При неустановившемся течении прямолинейным является лишь участок кривой, соответствующий распределению давления вблизи скважины. На достаточно большом удалении от скважины наклон кривой постепенно изменяется и кривая стремится к горизонтальной линии, соответствующей максимальному давлению в пласте. Граница зоны, в которой градиент давления не равен нулю, со временем перемещается по пласту от скважины до тех пор, пока не достигнет границы пласта, Начиная с этого момента, пластовое давление снижается повсеместно, а распространение воронки депрессии прекращается, Рассмотрим вначале вывод формул для установившегося течения, а затем и для неустановившегося,

^С3

Рис. X. 3, Изменение давления в пласте на разные моменты времени.

§ 1. УРАВНЕНИЯ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ТЕЧЕНИЯ

Уравнения установившегося течения выводятся из закона Дарси, выражающегося для случая течения вязких жидкостей уравнением (II. I). Уравнение для случая радиального течения интегрируется по переменной площади фильтрации. При высоких скоростях течения существенную роль начинает играть отклонение от закона Дарси. Поэтому для условий пласта необходимо пользоваться формулой, учитывающей как отклонение от закона Дарси, так и радиальный характер течения.

> = ±

1. РАДИАЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ ГАЗА ПО ЗАКОНУ ДАРСИ

Радиальное течение, которое можно наблюдать при фильтрации газа к продуктивной скважине или от нагнетательной скважины, схематически изображено на рис. X. 4, Площадь сечения, через которую фильтруется газ, при радиальном течении — величина переменная,

Рис. X. 4. Схема радиального течения,

и это должно учитываться при интегрировании уравнения (II. 1), Выразим площадь сечения A = 2nrh, где г — радиус в ж и h — мощность пласта в м. Для случая радиального течения газа уравнение (II. 1) принимает вид:

ifilnhkp (± dp)²³

(X- 1)

Q

гТ pdr/r

где h — мощность пласта в м; k — проницаемость в мд; р — абсолютное давление в ат; г — коэффициент сжимаемости; Т — абсолютная температура фильтрующегося газа в °К; I^х — вязкость газа в ей; Q—дебит газа, приведенный к абсолютному давлению р = 1,033 ат и 15,5° С в м³/сутки.

Интегрируя уравнение радиального потока для постоянных значений k, Т, h, [х, z, получим

7,32Ай(р| — Pg)¹

(X. 2)

гГц 1п (г!/г₂)

Эти единицы измерения в дальнейшем применяются в качестве «промысловых» единиц при расчетах фильтрации газа. Выражение 1 п(г,//"₂) представляет собой натуральный логарифм отношения радиусов, измеренных от центра ствола скважины. Когда газ течет из пласта в скважину, индекс 1 относится к точке в пласте, а индекс 2 к точке на стенке ствола скважины. Если, наоборот, газ нагнетается в скважину и фильтруется в пласт, индекс 1 соответствует точке на стенке скважины, а индекс 2 — точке в пласте на некотором удалении от скважины.

Пример

При осуществлении сайклинг-процесса в газоконденсатный пласт нагнетается 141 500 м³/сутки газа удельного веса 0,6, Пласт имеет следующие параметры: /г = = 6 м; k = 60 мд; 7’ = 358°К. Радиус скважины г_с=0,1 м.

Абсолютное давление нагнетания на забое скважины равно 161,69 ат. Рассчитать давление в точке пласта на удалении 15,25 м от центра скважины, принимая, что имеет место радиальное установившееся течение газа по закону Дарси,

Решение

Необходимо задаться давлением в пласте для определения значения вязкости и коэффициента сжимаемости газа. Принимаем р = 157,5 абс. ат.

Псевдокритическое абсолютное давление р_с=48 ат; псевдопрнведенное давление р_г = 3,35.

Псевдокритическая температура Тс = 198,5° К; псевдо-приведенная температура Т_т= 1,803.

По графику на рис. IV. 16 2 = 0,893; [х =0,017 спз.

„    141500    х    0,893    X 358 х 0,017 X 5,01

Р₂ — 161,69²⁴    7,39    x 6 x 60    '⁼

= 26144 — 1448 =24696. рз= 157,15 абс. ат при удалении от оси скважины на 15,25 м.

2. РАДИАЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ПО ЗАКОНУ ДАРСИ

Формула для радиального течения жидкости выводится подобно формуле для газа и имеет вид:

0,05238 hi; (р, — р₂)

(X. 3)

Q

ц In (г Jr.,)

где Q — дебит жидкости в м²⁵/сутки; h — мощность пласта в м; k — проницаемость пласта в мд; р — абсолютное давление в ат; р.— вязкость жидкости в сп; г — радиус в м. Индекс 1 относится к пласту, индекс 2 — к стволу скважины.

1

Qo

Мощность пласта, м

Рис. X. 5. Поправка дебита для скважин, не полностью вскрывших продуктивный пласт

[I- 12].

Уравнения (X. 2) и (X. 3) справедливы для случая, когда скважина вскрывает всю мощность продуктивного пласта. Маскет [1.12] дает диаграмму (рис. X. 5),.по которой находится поправка для дебита, когда скважина вскрывает лишь часть мощности продуктивного пласта. На этой диаграмме Q/Qo представляет собой отношение производительности скважины, частично вскрывшей пласт, к производительности скважины, полностью вскрывшей этот же пласт. Сплошными линиями показаны кривые для случая, когда радиус скважины равен

+

0,076 м, а пунктирными — для радиуса скважины

0,152 м. Расстояние до границы пласта во всех случаях принято равным 200 м.

, г,    0,136цzTQ In (r₁//'₂)

Р\~Рг =-hk-+

3,038 X IО-¹⁷ PyQ4T

№

Единицы измерения величин, входящих в уравнения (X. 4) и (Х.5), те же, что и в уравнении (Х.2). Кроме того, здесь 7—удельный вес газа; |3—коэффициент 1 /см. Определяется он по лабораторным исследованиям или из графика (рис. 11.23).

Уравнение (X. 5) применяется для расчета градиента давления при радиальном течении газа в зоне, прилегающей к забою продуктивной или нагнетательной скважины, Еленбаас и Катц (Elenbaas and Katz) [X. 15] вывели формулу для течения при отклонении ог закона Дарси в несцементированной пористой среде, учитывающую коэффициенты трения для зерен песка.

Пример

По имеющимся данным о газовой скважине вычислить эффективную проницаемость эксплуатируемого песчаника.

Радиус скважины равен 0,15 м, расстояние до соседней закрытой скважины 137 м, мощность газоносного пласта 8,85 м, мощность пласта, вскрытая скважиной, 3,35 м.

При исследовании на приток дебит скважины равнялся 1 100 000 м?/сутки. Давление на забое скважины рг равнялось 49,58 ат. Давление в пласте вблизи скважины 50,82 ат. Температура газа в пласте 17,2° С. Удельный вес газа 0,6. Для решения уравнения (Х.5) обычным способом определяют коэффициент сжимаемости. Коэффициент сжимаемости оказался равным 0,892. Вязкость газа по графику на рис. IV. 107 равна 0,0117 спз. Тот факт, что скважина не полностью вскрывает пласт, означает, что ее дебит будет существенно меньше дебита скважины, совершенной по степени вскрытия. Согласно графику на рис. Х.5 дебит газа данной скважины составит лишь 62% дебита скважины, полностью вскрывшей пласт. 62% от 8,85 м составляет 5,5 м. Следовательно, эквивалентная мощность пласта Л = 5,5 м.

Решение

Решая уравнение (X. 5) относительно k и оставляя в качестве неизвестного, так как (3 в свою очередь зависит от k, получим

50,82² -49,58* = X 0.117 X 0.892 X

0,0

X 290,2 - 1 100 000(137/0,15)

124,49 =-г- + 12560 х 1(Г²⁶р.

или

563697

Если пренебрежем 3 что течение принимается = 563697/124,49 = 4528 мд.

Из графика рис. 11.23 для k = 4528 мд ft = 1,87 X X ЮМ/сж. Подставляя это значение J3 в уравнение для определения k, получим

563 697

что эквивалентно тому, по закону Дарси, го

При установившемся течении количество жидкости (или газа) в пределах данного потока остается неизменным, При неустановившемся течении количество вещества, входящего в какой-то элемент объема пористой среды, может отличаться от количества вещества, выходящего из этого элемента. Следовательно, содержание жидкости в пористой среде со временем изменяется. Такие изменения количества жидкости в пористой среде возможны благодаря сжимаемости жидкости. Отсюда для выражения неустановившегося течения необходимо ввести дополнительные переменные, кроме тех, которые уже использовались для выражения установившегося течения: время, пористость пласта и сжимаемость жидкости. Пористость пласта является мерой способности пористой среды вмещать (содержать) жидкость. Сжимаемость определяет изменение содержания жидкости с изменением давления.

Решение задач неустановившегося течения обычно осуществляется по следующей методике.

1.    Составляется уравнение материального баланса, учитывающее массу добытой (нагнетаемой) и остающейся в пласте жидкости, для рассматриваемой геометрии потока. Это уравнение называется уравнением неразрывности.

2.    Уравнение неразрывности комбинируется с уравнением, описывающим движение жидкости, с уравнением, учитывающим изменение плотности в зависимости от температуры и давления. В результате получается уравнение течения в частных производных. В качестве уравнения движения жидкости обычно берется закон Дарси.

3.    Математически формулируются граничные условия, которые устанавливают отсутствие фильтрации через непроницаемые границы системы, определяют скорость нагнетания или отбора жидкости (или газа), указывают характер распределения начального и текущего давления и т. д.

4.    Решается уравнение в частных производных при заданных граничных условиях с целью получения формулы, пригодной для инженерных расчетов.

Для большинства инженерных расчетов нет никакой необходимости каждый раз придерживаться данной методики. Для определения дебита или падения давления можно применять полные решения задачи данного типа. При этом трудности будут не больше, чем при решении задач установившегося течения. Большинство инженерных задач можно решать с применением готовых решений, представленных в форме рабочих диаграмм или таблиц. Только в тех случаях, когда решается задача совершенно нового типа, необходимо следовать приведенной выше методике, используя геометрию системы и граничные условия, которые соответствуют новой задаче. Поэтому имеет смысл привести полный вывод уравнений, чтобы инженер был подготовлен для решения новой задачи. Кроме того, знание вывода уравнения дает более полное представление о преимуществах и недостатках рабочих диаграмм.

(ДуДг),

1. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ

Уравнение неразрывности можно вывести, рассматривая входящий и выходящий поток из малого элемента объема. Такой поток лучше всего выражать как массу в единицу времени. Разность количества жидкости, вошедшей в элемент и вышедшей из него, составляет приращение массы в объеме элемента за некоторое время:

(Х.6)

вошло — вышло = приращение.

Уравнение неразрывности вначале будет выводиться для общего случая трехмерного потока, а затем для радиального потока, следуя методике Стритера (Stru-ter) [X. 26а].

Рассматривая случай трехмерного потока (рис. X. 6, а) возьмем элемент объема, имеющий стороны длиной Ах, Дг/ и Дг в системе координат х, у иг.

и, v и w — скорости соответственно в направлениях, х, у и г, рассматриваемые в центре элемента. Эти скорости определяются площадью поперечного сечения потока без учета пористости среды. Плотность жидкости в центре элемента равна р.

•р,а

Му

Ах

Рис. X. 6. Элемент объема, которым пользуются при выводе уравнения неразрывности. а — линейное течение; 6 — радиальное течение.

В направлении х скорость потока, входящего в элемент объема с левой стороны, равна [и — ди/дхАдс/2]. Скорость потока, выходящего из элемента с правой стороны, равна [и + ди/дхД*/2]. Подобным же образом плотность жидкости у левой грани элемента равна [р — др/дхАх/2] и плотность у правой грани [р+<3р/дх У, ХД*/2]. Площадь каждой грани равна hyh г.

Массовая скорость при течении через любую грань равна произведению скорости на плотность и на площадь. Соответственно массовая скорость потока в направлении х у левой грани равна

’д_РР- 37

а массовая скорость потока в направлении х у правой грани равна

(Д«/Дг).

Результирующая скорость потока в элементарном объеме в направлении х находится перемножением приведенных выше выражений. Пренебрегая членами, со-

(Х.7)

(Х.8)

дх

(X. 13)

д (ра) ду

д (рw) дг

Д*Лг/Д г

(X. 14)

kp dt

1_ д²р² 2

(Х.9)

дх

Дг

2

-Дг\ ( 2

Р

ри г

-ф

(X. 10)

Накопление жидкости в пределах элементарного объема выражается также в единицах массовой скорости потока. Это накопление происходит благодаря изменению плотности жидкости во времени в элементарном объеме и выражается в виде

ФД*Дг/Дг ^ly-

где Ф—пористость среды (в долях единицы) a t — время.

Полагая, что разность входящего и выходящего потоков в элементарном объеме равна накоплению, и исключая ДяДг/Дг, получим уравнение неразрывности

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ТЕЧЕНИЯ

В качестве иллюстрации методики, по которой получаются дифференциальные уравнения, будет рассмотрен вывод уравнения для случая неустановившегося радиального течения газа. При замене ? на г в уравнении (II. 1) получим закон Дарси для случая радиалыюго потока;

k др

При выводе уравнения неразрывности не делалось никаких допущений.

Для случая радиального течения уравнение неразрывности выводится подобным же способом. Элементарный объем показан на рис. X. 6, б. Течение существует только в радиальном направлении со скоростью, обозначаемой и. Объем элемента ограничивается окружностями радиусом г и г+ Д г и углом Да . Высоту элемента можно считать равной h и пористость Ф.

Массовая скорость течения на входе в элемент равна

др

Накопление жидкости в элементе равно ФгЛДаДг щ.

Поступая так же, как и в предыдущем случае, получим уравнение неразрывности

д(ри)    д(ри)    д(рw)    ^ /др

+ ду + дг

а на выходе из элемента д \ /Дг\

[(г + Дг) /гДа]

—ДяДг/Дг

д(?и)

дг

(/•ЛДа)

Подобным образом результирующие массовые скорости потока в элементарном объеме в направлениях у и г соответственно выражаются

на входе — на выходе =—АхАуДг

d (ри) = рdu + ud?, получаем следующее уравнение:

Г(3 (Ри)

держащими Д* в квадрате, вычитая скорость на выходе из скорости на входе и учитывая, что

^д2Е1 _    ,    (?Р\²    /V

дг* -^рдг* ⁺[дг}‘    ^(Х-¹⁵⁾

При выводе уравнения (X. 14) и во время его применения следует помиить допущения, что k, г и Т являются постоянными, поэтому закон Дарси применим.

Уравнения в частных производных для других специфичных случаев неустановившегося течения могут быть выведены таким же путем, как для газа, так и для жидкости при лииейном или радиальном течении. В табл. X. 1 приведено несколько таких уравнений, причем вывод уравнений для жидкости основан на выражении плотности в виде

р = _Рое^с - Ро),    ₍х.    16)

где Ро — плотность при некотором стандартном давлении ро; С — постоянная, имеющая размерность 1 /ат\ р — давление, при котором определяется плотность.

Большинство расчетов неустановившегося течения жидкостей производится по уравнениям с одним дополнительным допущением, заключающимся в том, что таким выражением, как    ^{или    п}Р^енебре-

гается. Для малосжимаемых жидкостей это допущение, по-видимому, является вполне удовлетворительным.

3. БЕЗРАЗМЕРНЫЕ ПАРАМЕТРЫ В УРАВНЕНИЯХ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ТЕЧЕНИЯ

При решении задач неустановившегося течения можно сделать большие упрощения, применяя безразмерные параметры. Показать в явной форме влияние на характер неустановившегося течения в пласте отдельных переменных (проницаемость, пористость, вязкость, скорость течения, давления, время и др.) невозможно. С другой стороны, указанные переменные могут группироваться вместе в виде нескольких безразмерных параметров, которыми легко пользоваться и которые дают простые соотношения между собой.

В табл. X. 2 приведены несколько наиболее распространенных безразмерных параметров. Самым важным из них является безразмерное ьремя t_D. Расстояние, на

где М — молекулярный вес или удельный вес газа, умноженный на 29; R — газовая постоянная; Т — абсолютная температура; г — коэффициент сжимаемости. Газовая постоянная г имеет значение 0,082055 (табл. IV. 1) при плотности в кг/м³, давлении в абс. ат и температуре в °К.

Комбинируя уравнения (X. 12) и (X. 13) с целью исключения плотности газа, получим уравнение радиального неустановившегося течеиия газа

д²р² , 1 др- р.Ф dp²

а7

Закон Дарси можно комбинировать с уравнением неразрывности для радиального потока (X. 10). Путем прямой подстановки получим

<РР,ЁЕ. ^д1 . Р^._    /V юл

Р дг'² ' дг дг "^r rdr ~~ k dt '    ' ’    ^

В уравнение (X. 12) входят четыре переменные р, г, t и р. Одна из переменных должна быть исключена. Путем введения уравнения, выражающего плотность газа, можно исключить плотность р:

Мр ^{р -} zRT

дг³    г

При выводе уравнения (X. 14) использовалось общее математическое соотношение

* —С (др/дх)^г мало и им преиебрегается.

** _С (др/дг)² мало и им преиебрегается.

Таблица X. 2

Продолжение табл. X. 2

0,1365^7(3

hkp²_n

19,1ц(?

hkp_n

котором проявляется неустановившееся течение в пласте, зависит от безразмерного времени. Безразмерный дебит т представляет собой наклон градиента давления при неустановившемся течении, как это следует из уравнения (X. 3) или (Х.5), что показано на рис. X. 3. В табл. X. 2 приведено несколько безразмерных отноше-

Безразмерные параметры, применяемые при расчетах неустановившегося течения

Безразмерный дебит (радиальное течение)

Ний давления. Они включают отношения текущего давления р к начальному давлению пласта р_п, разности давления р—р„ к пластовому давлению р_п а разность давлений р—р„ к максимально возможной разности давлений р_к—р_п, где р_к — постоянное внешнее давление. Для случая течения газа применяются квадраты давления, как и в формулах установившегося течения.

При решении задач неустановившегося течения часто применяется член, выражающий безразмерное изменение давления Pt для случая постоянного дебита, или член, выражающий безразмерную добычу Qt для случая эксплуатации с постоянным рабочим давлением. Значения p_t были найдены для нескольких типов задач и для любого значения безразмерного времени. Этот член позволяет вычислить падение давления при пуске скважины или возрастание давления при нагнетании. Подобным образом член Q_t, выражающий безразмерную добычу, можно применять в расчетах количественного определения добычи для ряда типов промысловых задач.

Различные авторы при решении подобных задач применяли другие безразмерные параметры.

Применение таких видов безразмерных параметров имеет свои преимущества в некоторых типах расчетов. Тем не менее необходимость общих безразмерных параметров не вызывает сомнения. Поэтому безразмерные параметры, применяемые различными авторами, будут выражаться всякий раз, когда это возможно, с помощью общих безразмерных параметров, приведенных в табл. X. 2.

Следует стремиться представлять процесс при течении жидкости или газа, пользуясь безразмерными параметрами, а не отдельными переменными. Например, при течении газа расстояние, на которое распространяется возмущение в пласте, зависящее от безразмерного времени, помимо времени, определяется пластовым давлением и вязкостью газа.

4. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О РАДИУСЕ ДРЕНИРОВАНИЯ

Радиус дренирования работающей скважины используется не только для более наглядной характеристики поведения пласта, но и при формулировке математического решения задач неустановившегося течения. Для различных целей имеется несколько определений этого радиуса. В общем термин «радиус дренирования» обозначает расстояние, в пределах которого жидкость движется по направлению к продуктивной скважине.

Теория утверждает, что любое изменение давления в скважине мгновенно создает возмущения, по крайней мере бесконечно малые на протяжении всего пласта. Следовательно, в строгом смысле слова радиус дренирования является радиусом всего продуктивного пласта, от которого может осуществляться фильтрация к скважине. Однако, учитывая, что могут быть лишь бесконечно малые изменения давления, такое определение не всегда полезно и им редко пользуются.

Более важным является определение установившегося радиуса дренирования или кажущегося радиуса дренирования.

При данных рабочем давлении, пластовом давлении, дебите, характеристике пласта и свойствах газа для вычисления радиуса, в пределах которого жидкость в пласте, по-видимому, течет по направлению к скважине, можно воспользоваться формулой установившегося радиального течения. Вся движущаяся по пласту жидкость высвобождается за счет изменения давления в пределах этого кажущегося радиуса дренирования. Кажущийся радиус дренирования вычисляется экстраполяцией прямолинейного участка кривой градиента давления вблизи забоя скважины до максимального пластового давления (рис. Х.З): точки а₂, Ь₂, с₂ и d₂ соответствуют значению установившегося или кажущегося радиуса дренирования для различных четырех моментов времени.

Другим определением является определение эффективного радиуса дренирования г-,ф. Точки аз, Ьз, сз и d₃ на рис. X. 3 соответствуют значениям такого эффективного радиуса. Эффективный радиус дренирования больше установившегося радиуса дренирования. Однако очень незначительные изменения давления происходят и за пределами эффективного радиуса дренирования. После достижения границы продуктивной части пласта эффективный радиус дренирования становится тем же самым, что и радиус продуктивной части пласта. Более точное определение эффективного радиуса дренирования будет дано ниже.

Перемещение радиуса дренирования является очень важным моментом в поведении пласта. Установившийся и эффективный радиусы дренирования увеличиваются, в то время как скважина работает с постоянным дебитом и эффективный радиус еще не достиг границ пласта. Однако это увеличение радиуса дренирования, естественно, прекращается, когда достигается граница продуктивной части пласта. В течение перемещения радиуса дренирования работа скважины, как говорят, не стабилизирована, а когда перемещение его прекращается, то работа скважины стабилизируется, хотя в обоих случаях течение газа имеет неустановившийся характер. Эти термины будут рассмотрены в дальнейшем при определении характеристик поведения скважины.

5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ТЕЧЕНИЯ

Для решения различных уравнений неустановившегося течения, приведенных в табл. X. 1, имеется несколько методов.

Эти методы включают следующее.

1.    Точные решения.

2.    Аналитические решения с одним или более упрощающими допущениями.

3.    Приближенные решения:

а)    численные решения;

б)    графические решения;

в)    решения, полученные на электронных цифровых машинах.

4.    Решения с использованием вычислительных устройств, основанных на принципе аналогии (пневматической, электрической, электронной).

Точные решения имеются лишь для случая течения малосжимаемых жидкостей. В них включены решения, взятые из задач по теплопроводности и обобщенные Черчиллем (Churchill) [X. 8], и решения, представленные Ван Эвердингеном и Херстом (Van Everdingen and Hurst) [X. 27]. Однако в известном смысле точных решений для таких задач по неустановившемуся течению нет, так как при выводе уравнений было необходимо допущение, что вязкость, коэффициенты сжимаемости, температура и проницаемость были постоянными. Это допущение позволяло пренебречь определенными параметрами. Однако если эти допущения принять, то можно непосредственно осуществить интегрирование и получить решение для уравнений (X. 19) и (X. 21).

Математическое решение для линейного течения малосжимаемых жидкостей дано очень детально применительно к проблемам распространения тепла Черчиллем [X. 8]. На рис. X. 7 приводится схема, иллюстрирующая задачу линейного течения жидкости. Первый символ при р, которым обозначается давление, указывает положение точки, в которой замерено давление. Второй символ указывает время, в которое производилось измерение давления. Соответственно р(Х\, 11) указывает давление в точке Х\, замеренное в момент времени /[. Для простоты постоянное начальное давление обозначается

Р(О.О)

P(*t,°)

Р 1*2,0)

Х=0    х = х₁    х=х_г

Pihc. X. 7. Схема линейного течения.

р_п, а постоянное давление, действующее во внешней области, р_с. Жидкость на схеме рис. X. 7 течет справа налево и вытекает из пористой среды к галерее, имеющей координату * = 0.

В зависимости от выбранных граничных условий можно получить несколько решений. Черчиллем рассмотрены три случая. В каждом случае начальное давление р_п постоянно, когда время равно нулю и градиент давления равен нулю при х~ <х> для любого значения времени.

Случай I. Давление на галерее (х = 0) поддерживается постоянным. В этом случае давление на галерее (х = 0) мгновенно изменяется от р_п до р_с. Давление в любой точке пласта и в любой момент времени р(х, t) рассчитывается по уравнению Чарчилля

. 3,48 х 10~*Kt . |лСФ*²

Методика расчета распределения давления при не-установившемся течении заключается в следующем.

1.    Вычисляется безразмерное время t_D для данной точки и время для точек, где желательно знать давление.

При определении безразмерного времени для линейного течения в формуле, приведенной в табл. X. 2, вместо г подставляются расстояния от галереи (л: = 0) до выбранной точки в пласте.

2.    Вычисляется величина 7г /д².

3.    Находится значение erfc (‘/г tp²) по соответствующей таблице.

4.    Вычисляется р(х, t), когда известны р_п и р_с.

Пример

В лаборатории проводятся опыты на трубе, заполненной большими образцами керна, проницаемостью 15,6 мд и пористостью 12%. Система насыщена жидкостью вязкостью 0,20 спз и имеющей сжимаемость при данной температуре 0,00868 1 /ат. Начальное абсолютное давление в трубе равно 35,155 ат. Затем на одном конце абсолютное давление внезапно было снижено до 21 ат. Какое давление будет в точке, отстоящей от выходного конца на 6,095 м через 0,1 ч после сниження давления, принимая, что длина трубы достаточно велика?

Решение

3,48 X Ю^-4 X 15,6 х 0,1

0,20 х 0,00868 х 0,12 х 6,195^г = 0,0704,

1

2/‘/г

(X. 22)

= — erfc

2х 0,0704^1/2

erfc = 1

(X. 22а)

времени t_D приведены а обозначение erfc расшифровывается как дополнительная фукция ошибки. Функции ошибок за-табулированы [X. 25]. Знак минус в уравнении (X. 22) соответствует случаю добычи жидкости. При нагнетании жидкости в пласт ставится знак плюс.

Р (*» 0 — Рп Г'с Рп безразмерного

интеграл вероятности.

Значения в табл. X. 2,

р (6,1; 0,1) = 35,155— 14,062 х 0,00752 = 35,049 абс. am.

Случай II. Поддерживается постоянный отбор (в точке х = 0). Течение линейное. Если жидкость отбирается на выходном конце (* = 0) с постоянным темпом отбора, то давление в любой точке пористой среды в произвольно

= 1,89. erfc (1,89) = 1 — 0,99248 = 0,00752.

быбранное время для неустановившегося течения определяется по уравнению

р (X, t) — р_п

---= -mP_t.    (X.    23)

ГП

Безразмерный параметр т определяется по табл. X. 2 для линейного течения жидкости, а безразмерный параметр P_t, учитывающий изменение давления, рассчитывается по уравнению, полученному Черчиллем:

2 У Vi

erfc

(X. 24)

Pt ¦

Знак минус в правой стороне уравнения (X. 23) соответствует случаю добычи жидкости, а при нагнетании ставится знак плюс.

Так как равное нулю, нельзя подставлять непосредственно в уравнение (X. 23) или (X. 24), то для определения давления в этом случае необходимы специальные преобразования. Ниже уравнение (X. 23) дается для системы единиц (см, сек, ат, спз и др.):

Crt

dt_r

2Q( UV \*/*

Р(0,/)-р_п = _Г(^) .    (X-    25)

Обычно уравнение (X. 25) для решения промысловых задач не применяют, так как принятые допущения о линейности течения не удовлетворяют условиям вблизи отдельных скважин.

Случай III. Давление на галерее (* = 0) меняется произвольно. Если давление на эксплуатационной галерее *=0 меняется во времени произвольно

(X. 29)

Q_t =

р (0,0= ПО,    (X. 26)

то решение (X. 8), по которому определяется давление в любой точке и времени, принимает вид:

p₍*,0-p_n = ^J/Vv(<__^)x

Чг

X е^_хЖ    (X. 27)

где X —новая переменная интегрирования. При f(t) = =const уравнение (X. 27) переходит в уравнение (X. 22).

¹ ^эф/^гс ^на графиках (рис. X. г_к/г_Р в тексте.

и X. 9) то же самое, что

Рис. X. 8. Зависимость безразмерной добычи от безразмерного времени для ограниченного радиального пласта при постоянном давлении на скважине [X. 7]. г_к— радиус пласта; г_с — радиус скважины; к/г_г —установившееся состояние не достигается: г_к/г_с = 10 — течение, установившееся при безразмерной добыче Q t — *=49,5:    ^гк/^гс    ⁼    9    —    течение,    установившее

ся при Q/ =40,0; г_к/г_с =8,0 — течение, уста новившееся при Q/ = 31,5.

Случаи IV. Постоянное забойное Давление. Радиальное течение в бесконечном пласте. Пользуясь приемами, аналогичными приемам при решении уравнений для линейного течения, Ван Эвердинген и Херст [X. 27] получили решение для случая радиального'течения малосжи-маемых жидкостей. Ниже будут даны уравнения в безразмерном виде и значения безразмерных параметров, затабулированных Ван Эвердингеном и Херстом и Чата-сом [X. 7]. Принимается, что в момент времени / = 0 давление равномерно распределено по пласту, а градиент давления на внешней границе конечного пласта, как и на бесконечном удалении в неограниченном пласте, равен нулю.

Для случая, когда на скважине поддерживается постоянное давление, при радиальной фильтрации в бесконечном пласте общее накопленное количество фильтрующейся в скважину жидкости за период времени от 0 до t обозначается Q_T: t    (d

⁼ j ^{иШ =} j?

= 2*®Cr\h (p_c — pj Q_t, (X. 28)

где Qt—безразмерная общая добыча, определяемая из уравнения

др

dt р ' — Г . и

Рс—Рп

Если в уравнении (X. 28) г_с и h выражены в м, то Qt получаем в м³ жидкости, количество которой измерено при пластовых условиях. Давление р и сжимаемость С должны быть в тех же самых единицах, т. е. в абс. ат. Величина Qt для любого значения безразмерного времени t_D дается в табл. X. 4. На графике (рис. X. 8), взятом у Чатаса ((Chatas) [X. 7], даны значения Qt для рассматриваемой задачи (случай IV) '.

w з to

n> S

s s s a a

¦o ся Cj ^s C\ s

о

)S

fa

a

O CD О X

s =

ел О

⁴S?

to

-^Я S

a ^s

to ?*

•s

Й

o>

*=»