Глава вторая одномерное движение газа

ГЛАВА ВТОРАЯ ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА

Значительное число технических задач газовой динамики можно решать, предполагая движение одномерным, т. е. таким, в котором все параметры течения меняются только в одном направлении. Этим условиям отвечает течение газа вдоль слабо искривленных линий тока или в трубках тока.

Одномерным можно считать течение газа в трубе с мало изменяющимся поперечным сечением и малой кривизной оси. В ряде случаев результаты исследования одномерного течения могут быть применены и к потокам с неравномерным распределением параметров по сечению.

2-1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО ТЕЧЕНИЯ. СКОРОСТЬ ЗВУКА

Для получения основных уравнений одномерного движения рассмотрим течение газа в трубке тока. Направление оси выберем так, чтобы оно совпадало с осью трубки (рис. 2-1). Воспользуемся первым уравнением системы (1-16). Пренебрегая для газа влиянием массовых сил, полагаем

X = Y = Z = 0.

Имея в виду, что для рассматриваемого одномерного течения и = с, v = w — 0 и перейдя в уравнении (1-16) к полным производным, получим:

_cdc₊l_dP₌ о dx ¹ р dx

или

Уравнение изменения количества движения (уравнение импульсов) (2-1) справедливо только для таких’ течений, в которых отсутствуют силы трения, т. е. для обратимых течений. Легко показать, что в этом случае если система адиабатична, изменение параметров состояния совершенного газа подчиняется изоэнтропическому закону:

-^ = const.    (2-2)

Следует заметить, что формулируя обстановку процесса течения, считая, что поток непрерывен, энергетически изолирован и трение отсутствует, мы тем самым определили его изоэнтропичность, так как в таком потоке отсутствуют необратимые преобразования механической энергии в тепло и, следовательно, энтропия потока не меняется. Поэтому мы можем непосредственно проинтегрировать уравнение (2-1), предполагая очевидной связь (2-2).

Действительно, проинтегрировав уравнение (2-1) и имея в виду (2-2), получим:

^cdc -f- |^y- = ~-f-^const^ | p^k~²dp =

= 4+&^lf- ^{= const}- M

Эхо уравнение, известное под названием уравнения Бернулли для сжимаемой жидкости, выражает закон сохранения энергии для адиабатического течения. После простой подстановки

тА-1 —= ^{c T==i}

k — 1 р k — 1^e    р

оно преобразуется к виду:

i + -у- = const.    (2-4)

Здесь энтальпия газа i и теплоемкость газа при постоянном давлении с отнесены к единице массы и измеряются в механических единицах⁹⁰.

Уравнению энергии (2-4) можно дать простое газокипе-

Г²

тическое толкование. Член в этом уравнении выражает

энергию направленного движения частиц, а энтальпия /, пропорциональная температуре, определяет энергию движения молекул. Следовательно, уравнение (2-4) выражает факт взаимного превращения энергии направленного движения частиц и тепловой энергии.

Таким сбразом, мы установили, что при изоэнтропи-ческом течении газа интеграл уравнения изменения количества движения совпадает с уравнением энергии¹.

Следует отметить, что уравнения (2-3) и (2-4) можно непосредственно получить и из интеграла (1-26), записанного для сжимаемой жидкости (газа). Пренебрегая влиянием массовых сил, т. е. полагая f/ = 0, из (1-26) легко получаем уравнение (2-3), принимая связь между р и р по формуле (2-2)⁹¹.

Уравнение неразрывности для одномерного установившегося потока можно получить, рассматривая движение газа в трубке тока переменного сечения (рис. 2-1). Предполагая, что по сечению струйки параметры течения не меняются* рассмотрим часть потока, заключенную между сечениями 1-1 и 2-2. По определению трубка тока представляет собой замкнутую поверхность, образованную линиями тока. Через ее боковую поверхность частицы газа не проникают, так как векторы скорости касательны к этой поверхности. За 1 сек через сечение 1-1 внутрь рассматриваемой части трубки втекает масса газа, равная р₁с₁/^г₁; вытекающая через сечение 2-2 масса газа равна р₂c₂F₂. По условию неразрывности течения эти количества должны быть одинаковыми, т. е.

Pi^ci^ 1 — ?2^СгР    (²~⁵)

или

m = pcF== const,    (2-5а)

где т — секундная масса газа.

Уравнение неразрывности можно получить в дифференциальной форме. После логарифмирования и дифференцирования под знаком логарифма формула    (2-5а)    принимает вид.

⁼    (²'⁶>

Заметим, что для струйки постоянного сечения уравнение неразрывности (2-5) дает:

рс = -^-=const.    (2-7)

Произведение рс = ~ определяет удельный расход массы    газа в данном сечении    (расход    массы

через единицу    площади сечения).

Выражение (2-7) для удельного расхода можно было также получить непосредственно из дифференциального уравнения неразрывности (1-12) для пространственного потока, полагая и = с и v = w — 0. Тогда, полагая движение установившимся и перейдя к полным производным, полу-

Отсюда, интегрируя, получаем (2-7). Очевидно, что по смыслу вывода уравнение неразрывности (1-12) при переходе к одномерному потоку может дать только условие рс -- const.

Для 0/fH0MepH0r0 течения несжимаемой жидкости (р = = const) уравнение неразрывности (2-5) принимает такой вид:

с_хР_х = с_гР_г,    (2-8)

или

cF — const.

Формула (2-8) выражает условие постоянства секундного объемного расхода жидкости, протекающей через сечения трубки F_x и F_t. Эта формула применима к газовым потокам только в тех случаях, когда на рассматриваемом участке трубки 1-2 изменением плотности можно пренебречь. Для газов это условие выполняется, если скорость движения мала по сравнению со скоростью звука.

Скоростью звука, как известно, называют скорость распространения малых возмущений в физической среде. Скорость звука имеет особенно большое значение при анализе процессов течения сжимаемой жидкости. Многие свойства потока, в том числе и характер изменения параметров течения вдоль трубки заданной формы, при различных условиях взаимодействия с окружающей средой существенно зависят от того, в каких пределах лежит отношение скорости к скорости звука.

Влияние сжимаемости в газовом потоке становится ощутимым в том случае, когда в результате изменения давления объемная деформация частицы и изменение скорости течения соизмеримы.

Воспользуемся уравнением неразрывности одномерного потока, записав его в таком виде:

dAV I _rfp__n

AV ' f ’

dAV    *    1    n

где --относительное изменение объема элемента 1—2

(рис. 2-1), переместившегося в новое положение 1’ — 2’.

Умножив это равенство па dp, после преобразований получим:

Из уравнения импульсов (2-1) следует: dp = — pcdc.

Сопоставляя два последних выражения, получаем:

dAV    с²    dc

AV    (dP\ ^с

Н>Л

(Индекс s свидетельствует об изоэнтропичности процесса.) Обозначим

<²'⁹>

тогда

dAV __ с² dc AV а* с

Таким образом, мы видим, что если с и а величины одного порядка, то относительная объемная деформация элемента будет такого же порядка, как и изменение скорости. При ~    1 даже значительные изменения скорости

не приводят к большим изменениям объема частиц.

Из курса физики известно, что величина а, определяемая по формуле (2-9), является скоростью распространения волн малых возмущений. Характерным примером Таких волн могут служить звуковые волны.

Для совершенного газа скорость звука равна:

a = V b-*-=VbgRT.    (2-9а)

' Р

Для воздуха (k = 1,4) скорость распространения звука а = 20,1]/Т.    (2-96)

Следовательно, скорость звука в совершенном газе зависит только от физических свойств и абсолютной температуры газа. Этот вывод находится в полном соответствии с газокинетическими представлениями о процессе распространения малых возмущений в среде, состоящей из движущихся молекул. Скорость распространения возмущения должна зависеть от скорости движения молекул, которая определяется температурой. Хорошо известно, что средняя скорость движения молекул газа близка к скорости звука.

В этой связи необходимо подчеркнуть, что отношение

квадратов скоростей    является мерой отношения сред

ней кинетической энергии направленного движения к средней кинетической энергии беспорядочного движения частиц.

2-2. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

Уравнение Бернулли - устанавливает баланс энергии адиабатического течения газа в трубке тока. Выше мы познакомились с двумя формами этого уравнения: (2-3) и (2-4).

Постоянная в правой части уравнения энергии может быть выражена различным образом. Применяя это уравнение к двум сечениям трубки тока, в одном из которых скорость уменьшается до нуля и, следовательно, поток тормозится, можно уравнения (2-3) и (2-4) записать в следующем виде:

4~ + ‘ = '.:    (2-Ю)

т+ет    <²-">

где 1₀ = с_рТ₀ — энтальпия заторможенного потока;

А>> Ро> Т, — параметры заторможенного потока или параметры торможения.

В результате полного торможения потока вся кинетическая энергия направленного движения переходит в тепловую энергию. Заметим, что при полном торможении потока совершенного газа температура торможения Т₀, так же как и энтальпия, может иметь только одно вполне определенное значение, в то время как давление торможения р_й и плотность р₀ могут принимать любые значения, но

Рв

такие, при которых отношение -у- остается постоянным.

Параметры торможения имеют весьма большое значение при рассмотрении как теоретических, так и экспериментальных задач газовой динамики.

Таким образом, мы видим, что правая часть уравнения энергии, выражающая полную энергию частицы, может быть представлена через параметры торможения.

гии.

Вспомним, что

a* = k-?-.

9

Тогда уравнение (2-11) приобретает вид:

2

^2    л 2    Лл

^T+*b = *-^T=^const’    (    )

где а₀ — скорость распространения звука в полностью заторможенной среде.

Если применить уравнение энергии к двум сечениям трубки тока, в одном из которых давление р уменьшается до нуля, то скорость течения с будет стремиться к некоторой максимальной величине с_чакс, которую будем называть максимальной скоростью. В соответствии с рассмотренными условиями эта скорость отвечает истечению газа в пустоту (/ = 0; р — 0; Т — 0). Следовательно, правая часть уравнения (2-12) может быть выражена через максимальную скорость:

2 2

^с \ ^а . Siane    _{г,    ю_ч

₂ ~Т _k—\    2    '

При максимальной скорости течения, равной с_шкс, вся тепловая энергия молекул преобразуется в энергию направленного движения. Практически максимальная скорость течения недостижима и является известным теоретическим пределом для скорости газа.

Следует иметь в виду, что с приближением скорости течения к максимальной разрежение газа становится весьма большим и поэтому к рассматриваемому потоку нельзя применять уравнения состояния совершенных газов и уравнение энергии в известной нам форме (2-10) или (2-11).

Из формулы (2-12) может быть получено еще одно выражение для постоянной в правой части уравнения энергии.

Согласно (2-12) вдоль оси трубки тока с.увеличением скорости с скорость звука а падает. Совершенно очевидны при этом пределы возможных изменений с и а~

Скорость течения может изменяться от нуля до с

J    МЯКС»

а скорость звука — от а₀ до нуля. В одном из сечений трубки тока скорость движения газа с может стать равной местной скорости звука, т. е.

с = а~а,.

В этом случае уравнение (2-12) запишется таким образом:

2    9    9

2. at _ _{k +} ! at

2 ' k— 1    k— 1 2 •

Следовательно, постоянная в правой части уравнения энергии может быть выражена через скорость а, и уравнение энергии примет тогда вид:

Скорость течения, равную местной скорости звука а, называют критической скоростью.

Из уравнения энергии, записанного в различных формах, следует, что между характерными скоростями и параметрами торможения существует определенная связь.

Приравнивая правые части уравнений (2-10) — (2-14), можем получить такое соотношение:

к_ Ро_

2

Отсюда получаем выражения для характерных скоростей потока через параметры торможения.

Так, максимальная скорость будет равна:

/2i₀ = \/2c_pT₀ = Y

С,

макс

Критическая скорость

(2-17)

Кроме того,

Из формул (2-16) и (2-17) следует:

^Смакс 1 / k + 1    /п 1о\

~T7⁼V ?=Т •    (²'¹⁸>

Таким    образом,    мы видим, что максимальная    и    критическая    скорости    зависят от физических    свойств    газа (по

казателя изоэнтропы k) и температуры торможения.

Для воздуха при А = 1,4 и # = 287,1 м*/сек²-град

а, = 18,У/ Т₀ M-jceK.

Для перегретого водяного пара при k = 1,3 и R = 462,0 м*!сек^г-град

а.~ 22,8 /77.

По формуле (2-18) можем получить:

/*

макс л л г"

для воздуха -= 2 До;

с*

^Смакс п 77

для перегретого водяного пара -=2,77.

2-3. ПАРАМЕТРЫ ТЕЧЕНИЯ В ПРОИЗВОЛЬНОМ СЕЧЕНИИ ТРУБКИ ТОКА

Пользуясь уравнением энергии, выразим параметры течения в некотором сечении трубки тока через параметры торможения и скорость в этом сечении.

С этой целью, преобразовав формулу (2-14), получим:

С^г , а^{г r}k + 1 ^а _ ^Сманс    (9-Ыя\

2 ‘ k — 1    k — 1 2    2 •

Деля все члены на с², получим:

1 j 1 Я²    k -f- 1    _ 1 ^макс

Тk—\ с²"^- 2(k—\) ~с^:

Введем следующие обозначения для безразмерных скоростей:

с

Af =

А = -

а *

с

(2-19)

а*¹

с

тогда уравнение (2-146) будет иметь вид:

1,1    1 _ k +1 1    11

(2-20)

2>k — 1 /И²    2(k—1)' X²    2 ?²

Уравнение (2-20) устанавливает связь между безразмерными скоростями. После простых преобразований получаем:

^{2 Р} (2-21)

М¹

ft—I 1— ?²'

k— 1

k +

Воспользуемся теперь формулой (2-10). Выразим температуру торможения в таком виде:

(2-10а)

2с.

Разделим левую и правую части на Т₀ и определим отношение температур:

L—ii — 1

так как

: + 1 ^а•

то

^ = 1 т

¹ о

fe—l k 1

Я³= 1 — Е³.

Кроме того, определив из (2-10а) отношение

и заменив в правой части

^ _ а^г _ а^г

~~ kR~^c_P(^k —

получим:

Для изоэнтропического течения

JL=(P-'\    =Ш*“'    (2-24)

т<S    \ Рв J    \    Ро/

Пользуясь формулами (2-22) и (2-23) можно представить относительные давление и плотность газа в произвольном сечении трубки тока в зависимости от безразмерных скоростей М, Я и & (табл. 2-1).

Таким образом, зная параметры полного торможения потока и одну из безразмерных скоростей, по уравнениям (2-22) и (2-23) можно определить температуру, а по формулам, представленным в табл. 2-1, — плотность и давление газа в данном сечении трубки тока.

Из основных уравнений легко получить связь между параметрами в двух произвольно выбранных сечениях трубки тока.

Из формул (2-22) и (2-23) выразим температуру торможения в таком виде:

о—* I * I 9 *•* )    ,i-е*-

k + 1

Для двух сечений изоэнтропического потока (1-1 и 2-2) можем записать уравнение энергии для совершенного газа в такой форме:

Т = Т ¦

(2-25)

2

1+ — M₂ i-j+T*

В предположении изоэнтропического течения, используя соотношения (2-24), получим формулы для отношений давлений и плотностей (табл. 2-1).

Отношение плотностей

Отношение давлений

Легко также поЛу^йть отношение абсолютных скоростей в этих сечениях:

С 2 _ММ2 щУ Т%

(2-26)

^{И С}м₃кс ^П°-

Заметим, что уравнения (2-22) — (2-26) и формулы, представленные в табл. 2-1, являются модификациями уравнения энергии, полученные путем преобразования уравнения (2-10) и введения безразмерных скоростей.

В практических расчетах газовых течений может быть использована любая форма уравнения энергии и параметры р, р и Т могут быть выражены через любую из безразмерных скоростей М, Я, ?.

Однако в зависимости от рассматриваемой задачи оказывается целесообразным применять ту безразмерную скорость, которая обеспечивает максимальную простоту окончательных уравнений.

Если в рассматриваемой области скорости меньше критической, т. е. если

0

то

0<М^1;

0< 1;

Если скорости течения больше критической,* т. е.

< С «5?_макс,

В первом случае течение называется дозвуковым или докритическим; а во втором — сверхзвуковым или сверхкритически м. Следовательно, значение безразмерных скоростей

М = 1=1

разделяет области течений с дозвуковыми (докритиче-скими) скоростями и со сверхзвуковыми (сверхкритиче-скими) скоростями. Можно видеть, что безразмерные скорости i и Ё имеют конечные предельные значения, причем скорость I — 1 при с = <2„, в некоторых случаях более удобна для пользования.

Следует подчеркнуть, что безразмерные скорости имеют определенный физический смысл.

В § 2-2 было установлено, что в зависимости от соотношения с и а в большей или меньшей степени проявляется сжимаемость потока и, следовательно, М=-^-в каждой точке течения определяет степень влияния сжимаемости. Кроме того, физическое значение числа М выявляется при рассмотрении величины

С'

откуда следует, что квадрат числа М

пропорционален отношению кинетической энергии потока к его потенциальной энергии в данной точке.

Зная, что квадрат критической скорости может быть выражен через энтальпию торможения:

?1

_k + 1 _

к 1

Таким образом, квадраты безразмерной скорости Я, а также ? пропорциональны отношению кинетической энергии потока к его полной энергии i₀.

При течениях газа без энергетического обмена с окружающей средой полная энергия потока i₀ является в каждой точке величиной постоянной. Соответственно постоянными являются и скорости а„ а_а и с_макс, зависящие только от i₀ (при k = const). В этом случае Я и ? дают нам скорость течения, отнесенную к различным, но постоянным для всего потока масштабам.

В энергетически, неизолированном течении, когда имеет место теплообмен с окружающей средой (dQ=fc 0) или обмен механической работой (dL_T=/= 0), полная энергия меняется от точки к точке. В соответствии с изменениями

i₀ меняются скорости а„ а₀ и ?_макс.

Следует подчеркнуть, что формулы (2-23), (2-24) и др., связывающие параметры торможения с параметрами потока (табл. 2-1), справедливы и для течений с энергетическим обменом, но, однако, в этом случае связь между параметрами торможения, статическими параметрами и безразмерными скоростями является локальной, т. е. относится только к данной точке или данному сечению трубки тока, причем под р₀ и р₀ понимаются параметры изоэнтропического торможения в данной точке. Эти уравнения не могут быть применены к двум различным сечениям трубки, так как на участке между сечениями меняется полная энергия потока. Следовательно, формулы для статических параметров, указанные в табл. 2-1, и формулы (2-25) и (2-26) для таких течений неприменимы.

Отметим, что безразмерная скорость М является одним из основных критериев в теории подобия при рассмотрении процессов движения с большими скоростями¹, так как коэффициент сопротивления в основном зависит от отно-с

шения —. а

2-4. ИЗМЕНЕНИЕ СКОРОСТИ ВДОЛЬ ТРУБКИ ТОКА.

ПРИВЕДЕННЫЙ РАСХОД ГАЗА

Подвергнем более подробному исследованию характер изменения скорости вдоль трубки тока. Для этой цели воспользуемся уравнениями одномерного течения:

cdc -(- у- = 0;

dF ,df I dc _q

F ' $ ‘ с

Простые преобразования позволяют получить: отсюда

-/>'!-_—^

с    F

(2-2 7)

Разделив обе части уравнения на а^гйх и выразив логарифмическую производную скорости, получим:

1 dF

1 dc _F 'dx .    (2-28)

с dx M²— 1

Выразив с помощью (2-21) М² через Я², получим:

ft—I _г

1 d\    1    dF    _ _9р,

\    dx~ \^г — 1 F dx-    ^    '

Уравнения (2-28) и (2-29) являются дифференциальными    уравнениями    распределения скоростей    вдоль    оси

трубки тока. Они могут быть проинтегрированы, если известен вйд функции F (х). Вместе с тем эти уравнения весьма удобны    для    качественного анализа    изменения    ско

рости потока в трубках тока различной формы.

Из уравнения (2-29) следует, что 4^ = 0 при

dx

а)    Я = 0;

б)    * =    Я

’    Г    k    —    1    N

\ ^dF А

^в) 55 = °-

Случай „а“ отвечает неподвижному газу и поэтому интереса не представляет. Случай „б“ соответствует максимальной скорости течения и вполне очевиден: при X — = Я_макс дальнейшее возрастание скорости невозможно.

Наконец, случай „в“ приводит к    0 только при Хф\.

Легко видеть, что при этом в рассматриваемой точке = функция F (х) имеет максимум, минимум или точку перегиба. Следовательно, в таких сечениях трубки тока скорости также имеют экстремальные значения.

По уравнению (2-29) можно заключить, что производная скорости ^~ = сх) при Я = 1 и    0.    Однако такое

решение, означающее наличие разрыва скорости, физически невозможно (мы рассматриваем непрерывно изменяющееся движение газа).

Рассмотрим качественную картину течения газа в трубке тока, имеющей в х = х, максимум или минимум сечения (рис. 2-2). Пусть функция F (л:) имеет в этой точке ма-

ксимум (рис. 2-2,а). Допустим, что слева от F (х) = f_4aKc скорость Я<^1. Тогда из (2-29) следует, что так как ^->0, то    ^т-    ^е- скорость в трубке тока к /⁷_макс

убывает. Справа О ^и >0 — скорость течения возрастает.

Аналогично при X > 1 будем иметь слева ~ > 0 и

(t~h.    ,    Л

справа < 0-

Если функция F (х) имеет минимум в рассматриваемой

dF

точке, то слева от Р (x) = F_Km при Я<1 и    скорости будет возрастать,    так как    > 0    (рис. 2-2,6). При

Я>1 будет слева    ^-<С0,    справа    ^->0.

Таким образом, мы показали, что в максимальном сечении трубки тока дозвуковой поток приобретает минимальную скорость, а сверхзвуковой — максимальную. В расширяющейся части трубки тока скорость дозвукового течения падает, а в суживающейся — растет. Сверхзвуковой поток в расширяющейся части ускоряется, а в суживающейся — тормозится. При любых значениях Я на входе кривая скорости в этом случае (F (х) = Р_макс) имеет экстремум. Отсюда следует весьма важный вывод: характер изменения скорости вдоль трубки тока принципиально различен для дозвуковых и сверхзвуковых течений. В первом случае поток газа с качественной стороны ведет себя так же, как и поток несжимаемой жидкости, а во втором случае кривая скорости Я(х) имеет характер, аналогичный кривой сечений /⁷(;с). Очевидно, что в трубке тока, имеющий максимум сечения, невозможен переход из области дозвуковых в область сверхзвуковых скоростей и наоборот.

В трубке тока с минимумом сечения скорость как дозвукового, так и сверхзвукового течения приближается к значению Я=1 в минимальном сечении. Если скорость течения в минимальном сечении будет Я=1 и rfX =₇-0, то переход через критическую скорость, очевидно, осуществляется.

/

Рассмотрим теперь изменения давления, температуры и плотности газа в трубке тока. Непосредственно из формулы (2-13) и др. следует, что, там, где скорость увеличивается, температура, плотность и давление при изоэн-тропическом течении газа падают, и наоборот.

Таким образом, в суживающейся струйке при дозвуковом течении температура, давление и плотность уменьшаются, а при сверхзвуковом — растут. В расширяющейся струйке картина будет обратной.

Параметры, отвечающие сечению трубки тока, в котором Я = 1, будем называть критическими параметрами. Они легко определяются по формуле (2-22) и формулам для — и —, представленным в табл. 2-1, после Ро Ро

подстановки Я =1:

-Т ¦

1 ¹ о>

(2-31) (2-32) (2-33)

к +

= (^)'

⁼ (т+т)

Р,

1_

А—1

Ро-

Мы видим, что критические параметры зависят от физических свойств газа (показатель k) и параметров полного торможения.

В табл. 2-2 приведены значения относительных критических параметров (отнесенных к соответствующим параметрам торможения) для различных показателей k.

Таблица 2-2

Критические отношения параметров для различных газов

Полученные выше основные закономерности, определяющие изменения параметров течения в трубке тока, физически могут быть понятны из рассмотрения уравнения постоянства расхода в трубке тока [формула (2-7)]. С помощью уравнения

(табл. 2-1) определим удельный расход газа:

/га=-^ = рс = р₀а*Я^1 —    '•    (2-34)

Секундный массовый расход т для каждого сечения трубки тока будет одним и тем же. Интенсивность изменения плотности р и скорости с будет различной в дозвуковой и сверхзвуковой областях. В дозвуковой области с ростом с плотность р падает медленее, чем растет скорость, поэтому трубка тока должна суживаться, сечение F — уменьшаться. При сверхзвуковых скоростях, наоборот, падение плотности будет более интенсивным, чем возрастание скорости, и трубка тока будет расширяться.

Как видно из формулы (2-34), функция т(Х) = 0 при

и, следовательно, при некотором X

имеет экстремальное значение. Для определения этого зна иения X продифференцируем (2-34):

2—*

Отсюда следует, что максимальное значение удельного расхода соответствует X=1, т. е. критическому значению

скорости, так как обращается в нуль при X = 1. Следовательно,

Приведенным расходом назовем отношение

На рис. 2-3 представлены зависимости параметров те

JL- JL

А ’ Ро

- и приведенного расхода q от безраз-

чения

о

мерной скорости (для различных k).

Здесь приведена соответствующая схема изменений сечений трубки тока, вдоль оси которой скорость непрерывно возрастает. Нетрудно видеть, что при максимальной

скорости Я = ^_MaKc=:|/^A|-i-| приведенный расход q —

F

= -jr = 0, т. е. F = оо. Физически это понятно, так

как при Я = Я_макср = 0 (истечение в абсолютную пустоту) и р = 0.

||Т ИГ

Рис 2-3 Газодинамические функции одномерного и’оэнтропического потока if, р/f,, Т/Т„, р/р, , /₀    1Д    1,4).

Таким образом, мы установили, что в трубке тока, имеющей минимальное сечение, может происходить переход через критическую скорость. Необходимыми и достаточными условиями для такого перехода являются условия 2 = 1 и dX/йхфО в минимальном сечении. Приведенный расход газа при этом приобретает максимальное значение.

Если скорость в минимальном сечении достигает кри

тического значения, а второе условие

няется, то перехода через, критическую скорость не произойдет. Этот случай соответствует появлению критических скоростей в трубке тока и является важным как в теории сопла Лаваля, так и в задачах внешнего обтекания тел.

2-5. НЕКОТОРЫЕ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОМЕРНОГО АДИАБАТИЧЕСКОГО ПОТОКА

Выше (§ 2-3 и 2-4) мы познакомились с некоторыми важными безразмерными характеристиками одномерного потока газа, которые выражаются в виде простых функций безразмерных скоростей М, Я или 5. Эти газодинамические функции играют важную роль при выполнении различных газодинамических расчетов, а также при обработке результатов эксперимента.

Кроме уже известных, нетрудно получить и другие газодинамические функции, встречающиеся в преобразованиях уравнений сохранения расхода, количества движения и энергии.

С помощью приведенного расхода q легко определяется полный весовой расход газа через заданное сечение:

G = gF?c = gFqa* р„    (2-37)

или после подстановки

р,=(гртГ Р. = (гЪГ' Jfr "

и преобразований находим:

G = KF(2-38)

не выпол-

где

*+i

fc-i

Расход можно выразить и через статическое давление потока в данном сечеиии. С этой целью разделим и умножим правую часть формулы (2-38) на р:

⁰=^KFjvrr^KFVT.°' ⁽²'³⁹’

где

' ⁽²-⁴⁰⁾

—    новая функция безразмерной скорости Я, зависящая также только от k и Я.

Уравнения расхода в форме (2-38) и (2-39) могут быть использованы для расчета адиабатического потока в изолированной системе (без энергетического обмена с внешней средой) при наличии трения. Действительно, условие постоянства расхода (2-38) для двух произвольно выбранных сечений канала можно записать в такой форме:

р Ръ\Я\ р РаъЯъ

¹У1\Г ^гут;_г-

Так как для изолированной системы Т_а1 = Т_м = Т_а, то

Ъ;    (2-41)

Pt 1    Рг Яг

для каналов постоянного сечения

Eb. = Rl.'    (2-41а)

Рч Яг

Формулы    (2-41)    и    (2-41 а) позволяют    найти    изменение

давления    торможения,    обусловленное    необратимыми изме

нениями состояния движущегося газа и, в частности, потерями, вызванными внутренними силами трения.

Аналогично с помощью (2-39) можно получить (Т₀₁ =

—    Т —ТУ

- ¹ 02 - ¹ 0)'

FiPi^ai ⁼⁼ F ъРг^г*з.'>

откуда

Рг _

(2-42)

Р1    ^г °2

или для цилиндрического канала

Рг _°i

Соотношения (2-42) можно использовать для определения статического давления в одном из сечений потока, если известны скорости в двух сечениях (^ и Я₂) и статическое давление в одном из них.

Введем еще одну функцию, которая характеризует импульс потока, равный

J=±c + pF.    (2-43)

Учитывая, что

перепишем (2-43а) в виде;

^у=т (^с+?)-    ⁽²'^43а)

Из (2-17) и (2-22) имеем:

f=«sr= _gRT, (i -    (i    -    |=|i-)

и с = Ял*; тогда уравнение (2-43) можно записать в виде: J=^c + pF    (2-44)

где

Ф = * + Х    (2-45)

— некоторая новая функция безразмерной скорости Я,.

Уравнение для импульса газового потока (2-44) было впервые получено Б. М. Киселевым. Оно широко используется в различных задачах и, в частности, для расчета энергетически неизолированных потоков (расчет течений с подводом или отводом тепла при наличии сил трения, расчет внезапного расширения канала, процесса смешения и др.).

Исходное уравнение импульса (2-43а)

е V Р^са*/

нетрудно преобразовать к другому виду, используя новую важную функцию безразмерного статического давления

*=—=dr*=-4--r--    (²⁴⁶)

Р се.    Р^с ра, *

Заменив здесь -y=gRT и а, по формуле (2-17) получим⁹²:

<⁹³-^46а>

Следовательно, импульс потока выражается через функцию тс по формуле

J=Y^a. (^я + *).    (²-⁴⁷)

а связь между ф и it устанавливается соотношением

*=Чг*-^х-    ^²⁴⁸⁾

Воспользуемся теперь формулами (2-38)    и    (2-39)    и заменим величину расхода G в уравнениях    (2-44)    и    (2-47).

После несложных преобразований находим:

J=ke.Fp_aq(l + r)=^Fp₀q<1?    (2-49)

и

/= ks_tFp<s (X -j- T^ — p'Fp'sty.    (2-50)

k

Здесь s. = ^    ^k —критическое отношение давле

ний;

l

-    /    2 \A-1

P “(fe+r)    —критическое отношение плот

ностей.

С помощью формул (2-40) и (2-50) легко устанавливается связь между газодинамическими функциями q, о, фин.

В некоторых расчетах удобно ввести также функции

1

Т = Р.^Ф = Л_в.<7(ЯН-*) = (Я*+ 1)'1 —    (2-51)

> —*+Т^хя

Тогда

•!=ЧРРо = ЬРр.    (2-53)

Функция безразмерного статического давления it встречается также при использовании уравнения энергии. Выразим из (2-14) скорость звука:

- ft -f¹ 1 2    k   1 ,

а^г = -^—а,--2~° ¦

Разделив это уравнение на а, получим:

<²-⁵⁴>

Если воспользоваться уравнением энергии в форме (2-11),

ос ^

то нетрудно найти отношение скоростного напора к статическому давлению р:

,¦__??1₌_А_ (II J 1

2р k — 1 ^ р р„

После подстановки значений и — получим:

⁽²'⁵⁵⁾

Скоростной напор, отнесенный к давлению торможения, можно найти по формуле

1

: _рс²_P?l_iL_JL- Л—_ ^ j 2 Л_ft * х^{2 к}~¹

⁰ 2p_a ²Р Р» ^2п Ро ft +¹    \ ft +¹    )    *

Таким образом, ряд характеристик одномерного газового потока выражается в виде функций безразмерной скорости Я и показателя изоэнтропического процесса k. Наиболее важные из функций сведены в таблицы газодинамических функций, построенные для различных постоянных значений k (приложение 1). Пользование такими таблицами существенно упрощает газодинамические расчеты, что и определило широкое распространение таблиц.

Вместе с тем анализ изменения некоторых газодинамических функций позволяет сделать важные выводы о свойствах газового потока. Так, например, на рис. 2-4, дополняющим рис. 2-3, приведены функции я, о, Д, у и j(k = = 1,4). Функция /₀ показана на рис. 2-4.

Функция тс монотонно убывает с ростом скорости Я и при Я = 1 принимает критическое значение, равное [формула (2-46а)]:

Вспоминая выражение для критического отношения дав лений, легко находим:

k

е*    /9    ^—*

*=^кШ ¦

Обращаясь к рис. 2-4, можно отметить, что функция у слабо меняется в широком диапазоне скоростей 0<Я<1,5. Имея в виду смысл этой функции [формула (2-51)], нетрудно прийти к выводу, что при постоянном давлении торможе ния импульс потока слабо зависит от безразмерной скорости при Я < 1,5. При постоянном статическом давлении

/

импульс в данном сечении интенсивно возрастает с ростом Я, так как функция Д резко увеличивается от единицы при Я = 0 до бесконечности при Я -> Я_макс.

Расход газа через заданное сечение F меняется весьма интенсивно при изменении Я, если статическое давление

ккал/иг    кг/м²сен

Рис. 2-5 Изоэнтропическин процесс расширения в тепловой диаграмме (а) и определение критических параметров для реального газа (б).

/

сохраняется постоянным, что характеризуется поведением функции о (рис. 2-4).

В выведенные выше формулы входят постоянные, зависящие только от k. Значения некоторых постоянных приведены в табл. 2-3.

Таблица 2-3

2-6. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ОДНОМЕРНОГО ПОТОКА РЕАЛЬНОГО ГАЗА

Уравнение энергии (2*10) позволяет широко использовать диаграммы состояния для расчета газовых течений, что особенно важно при исследовании потоков реальных газов, изменение состояния которых не подчиняется уравнению (1-1), а теплоемкость является функцией давления и температуры.

В практике расчетов тепловых двигателей (паровых и газовых турбин, компрессоров и др.) наибольшее распространение находят тепловые диаграммы, в которых по осям координат отложены либо температура и энтропия, либо энтальпия и энтропия (диаграммы Ts и is). Такие диаграммы строятся по экспериментальным данным и позволяют с достаточной точностью рассчитывать различные процессы изменения состояния газов, в том числе в области влажного пара и вблизи линии насыщения.

Диаграммы состояния Ts и is могут быть широко использованы и при исследовании газовых течений.

Действительно, выразим* из уравнения энергии (2-10) скорость течения:

c=V² (i_a — i).

После подстановки i (к кал j кг) получим:, с=|/^(г'„ —«).

с = 91,53 (/" (г₀ — г).    (2-106)

Формула (2-106) показывает, что для определения скорости течения необходимо знать разность энтальпий i₀ — г, которая легко определяется по диаграмме is, если известны параметры полного торможения газа (р_й, Т₀) и статические параметры течения (р, Т).

На рис. 2-5,а представлена часть диаграммы is для водяного пара. Если нам известны два любых параметра полного торможения (р₀ и Т₀), то на диаграмме is легко находится точка О, определяющая состояние заторможенного потока. Эта точка может быть'найдена и по другим параметрам состояния (например, i₀ и s_a). Проведя вертикальную линию до точки пересечения с изобарой статического давления р, изотермой Т или изохорой v, определим состояние движущегося газа (точка /) и прежде всего его энтальпию г; тогда скорость течения легко может быть определена по уравнению (2-106).

Входящую в это уравнение разность энтальпий Н₀ = = i₀ — i называют изоэнтропическим перепадом энтальпий.

Тепловые диаграммы могут быть использованы и для расчетов необратимых течений (см. ниже). В этом случае, однако, для определения скорости течения трех параметров состояния недостаточно.

Рассматривая изоэнтропическое движение вдоль трубки тока переменного сечения в диаграмме i — s, нетрудно

найти удельный расход газа в различных сечениях и построить эту величину, а также и другие параметры в зависимости от скорости с (рис. 2-5,6). Максимум удельного расхода соответствует критическому сечению трубки, определяемому по уравнению расхода:

Параметры в критическом сечении находятся из условия с^а,. С этой целью можно построить кривые изме-

V

нений скорости звука a(i) и скорости потока с (/) в зависимости от энтальпии; точка пересечения указанных кривых дает значения а и г в критическом сечении. Перенеся эту точку в диаграмму i—s, можно найти и другие параметры в этом сечении (рис. 2-5,6).

Глава третья плоское движение газа при постоянной энтропии  »

Библиотека »