Глава 10. неустановившееся движение жидкости в трубах

Глава 10. НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

1.47. Неустановввшееся движение жидкости в жестких трубах

Как указывалось выше (п. 1.12), неустановившемся, или нестационарным, движением жидкости называется движение, переменное по времени. При этом движении как вектор скорости, так и давление в жидкости являются функциями не только координат точки, по и времени. Таким образом dvldt т^О и dp/dt ф 0.

восстановившегося течения

В потоке идеальной несжимаемой жидкости выделим элемент струйки длиной dl и площадью сечепия dS (рис. 1.103). Применим к массе этого элемента второй закон Ньютона, причем уравнение запишем в проекции на направление касательной к осевой линии струйки. Будем иметь

Р dS — {рdlj dS -\-pgdS dl cos a = p dS dl^

или

— ^ dl -(- pg cos adl = p~dl.

Частная производная от давления р использована потому, что давление, так же как и скорость у, является функцией двух переменных — I и t, а уравнение движения записано для определенного момента времени. В правой же части уравнения записана полная производная от v по t, т. е. полпос ускорение, которое равно сумме локального (местного) ускорения, обусловленного иестацио-нарностью движения, и конвективного ускорения, определяемого геометрией потока, т. е.

dv dv ,dvdl _3i> _ц ди

dt ⁼ ft dldi “ dt ’ ^Vdl‘

Учитывая, что cos a = —dzldl, где z — вертикальная координата, перепишем уравнение движения в виде

^<а+1%л+^д_ш(^)м + %а=о.

Интегрируя вдоль струйки от сечения 1—1 до ссчения 2—2 в тот же фиксированный момент времени, получаем

^ te-Pi! + «(2.-*i) + ^a_Tⁱ+ § а7^л = 0.

После деления на g и перегруппировки членов уравнения будем иметь

*¦ + к + S =^г’ + к + Z + 7 j я ^а'    • ^1в0>

Полученное уравнение отличается от уравнения Берпулли для струйки идеальной жидкости лишь четвертым членом в правой части, который называется инерционным напором

Из уравнения (1.160) ясен физический смысл инерционного напора h_m: это есть разность полных нааорон (полных энергий жидкости, отнесенных к единице веса жидкости) в сечениях 1—1 и 2—2 в данный фиксированный момент времени, обусловленная ускорением (или торможением) потока жидкости.

Для неустановившегося потока вязкой жидкости необходимо учесть еще неравномерность распределения скоростей и потери шпора, следовательно, уравнение (1.160) будет иметь вид

^г' + Й- + ^а‘5 "^г,+ к+ 2*+*«-    <^1Л62>

Уравнение (1.162) сходно с уравнением (1.62) Берпулли для относительного движения, в котором члеп Д#ин также называют инерционным напором. Однако величины h„_n и Д#_ин имеют разный смысл.

Для трубы постоянного диаметра локальное ускорение а = = dvldt также постоянно вдоль трубы, следовательно, инерционный напор

g dt

1 dv

(1.163)

Если трубопровод состоит пз нескольких участков с сечениями разных площадей S_lf S₂ и т. д. (или трубопровод присоединен к цилиндру, в котором ускоренно движется поршень), то инерционный напор для всего трубопровода равен сумме инерционных напоров для каждого участка. При этом соответствующие ускорения определяют из уравнений, представляющих собой результат дифференцирования выражения расхода Q по времени, т. е.

= iSjAi = Sffl2 - ?363 =...

В уравнение (1.55) в этом случае вместо >>_пн следует подставить

2^ип = йищ + ^тша'г^инзЧ^--..

Инерционный папор k,_m вводят в правую часть уравнения (1.55), причем его знак соответствует знаку ускорения a. Про положительном ускорении а величина й_ин такяге положительна, что означает уменьшение полного напора вдоль потока аналогично уменьшению его вследствие гидравлических сопротивлений. Однако инерционный напор нельзя рассматривать как безвозвратно потерянный. При отрицательном ускорении (торможении потока) величина а отрицательная, а это значит, что торможение потока способствует возрастанию полного напора жидкости вдоль потока, т. е. его действие противоположив действию гидравлических сопротивлепий. Все сказанное относится лишь к определенному моменту времени или к равноускоренному движению жидкости (а = const). При переменной величине а характер распределения напоров вдоль потока изменяется с течением времени.

В виде примера на рис. 1.104, а показана труба постоянного сечепия, соединяющая два резервуара. Внутри трубы находится поршень, который движется справа налево со скоростью у и с положительным ускорением а. С таким же ускорением движется жидкость в трубе. Для каждого из участков трубы — всасывающего (до поршня) и напорного (за поршнем) — на рисунке показаны линии изменения полного напора (Н — Н), пьезометрических высот (Р — РК ^а также потерь напора ^и инерционного напора hщ, в некоторый определенный момент времени. Из рисунка видно, что инерционный напор при неустановившемся течении способствует снижению давления и даже возникновению вакуума за поршнем и вызывает более значительное повышение давления перед поршнем: по сравнению с установившимся движением.

На рис. 1.104, б показаны те же линии при отрицательном ускорении а того же поршня при той же скорости, направленной справа налево. В этом случае инерционный напор компенсирует потери напора, и гидравлический уклон изменяет знак на обратный.

Рис. 1.104. Построение пьезометрических лигсий п ящрнй

Гидравлические потери при не установившемся движекяи в общем случае отличны от потерь при установившейся движении. Это связано с видоизменением профиля скоростей по сеченню трубы. Так, при ускоренном движении жидкости профиль делается более полным (коэффициент а уменьшается}, а при замедленном — более вытянутым (а увеличивается). На рис. 1.105 показано шменение распределения скоростей ео сечению трубы при ускоренном ламинарном движении жидкости при трех значениях расхода (рис. 1.105, а ¦— при равномерном движении, рис. 1,105, б — при ускоренном). Как видно иа рисунка, в отдельных случаях вблизи стенки трубы возникают дан;е противотоки.

В частном случае ламинарного течения с гармоническим изменением расхода по времени в закон Пуазейля (1.82), записаппый для данного момента времени, падо ввести поправочный коэффициент х, который, по исследованиям Д. Н. Попова, является функцией безразмерной частоты

(o = o)d²/(32v),

где о — угловая частота колебаний жидкости с вязкостью v в трубе диаметром d.

Безразмерная частота определенным образом спялша с осповными критериями подобая для данного случая — с числами Рейнольдса и Струхаля.

Понравочпый коэффициент х можно пайтн по формуле Д. Н. Попова

и = Ка/2 + 0,4.

При увеличении частоты возрастание гидраплических потерь может быть весьма значительным, причем различие между потерями при ламинарном и турбулентном режимах уменьшается.

1.48. Гидравлический удар

Гидравлическим ударом обычно называют резкое повышение давления, возникающее в напорном трубопроводе при внезапном торможении потока жидкости. Точнее говоря, гидравлический удар представляет собой колебательный процесс, возникающий в упругом трубопроводе с капельной жидкостью при внезапном изменении ее скорости. Этот процесс является очень быстротечным и характеризуется чередованием резких повытевий и понижений давлении. Измепецио давления при этом тесно связано с упругими деформациями жидкости и стенок трубопровода.

Гидравлический удар чаще всего возникает при быстром закрытии или открытии крапа или иного устройства управления потоком. Однако иогут быть и другие причины его возиикновения.

Теоретическое и экспериментальное исследование гидравлического удара в трубах было впервые выполнено Н. Е. Жуковским ³⁴ и опубликовано в его фундаментальной работе «О гидравлическом ударе», вышедшей в свет в 1898 г.

Пусть в конце трубы, по которой жидкость движется со скоростью v_Q, произведено мгновенное закрытие крана (рис. 1.106, а). Тогда скорость частиц жидкости, натолкнувшихся на кран, будет погашена, а их кинетическая энергия перейдет в работу деформации степок трубы и жидкости. При этом стенки трубы растягиваются, а жидкость сжимается ³⁵ в соответствии с повышением давления Друл-На заторможенные частицы у крана набегают другие, соседние с ними частицы и тоже теряют скорость, в результате чего сече-нио п — п перемещается вправо со скоростью с, называемой ско-ростью ударной волны; сама же переходная область, в которой давление изменяется на величину Д/>у_Д, называется ударной волной.

Когда ударная волна переместится до резервуара, жидкость окажется остановленной и сжатой яо всей трубе, а стенки трубы — растянутыми. Ударное повышение давлетш Друд распространится ла всю трубу (рис. 1.106, б).

^г"

-CL

=4^

'К

А ^В°

Но такое состояние не является равновесный. Под действием перепада давления Д/>_уд частицы жидкости устремятся из трубы в резервуар, причем это движение начнется с сечения, непосредственно прилегающего к резервуару. Теперь сечение п — п перемещается в обратном направлении — к крацу — с топ же скоростью с, оставляя за собой выравненное давление р₍, (рис. 1.106, в).

_________|_л Ре

-=?-

ч[Х&=Ж._

Ро'Щ}    ^]п    Ро

Рис. 1.I0G. Стадии гидравлического удара

Жидкость и стенки трубы предполагаются упругими, поэтому они возвращаются к прежнему состоянию, соответствующему давлению р₀. Работа деформации полностью переходит в кинетическую энергию, и жидкость в трубе приобретает первоначальную скорость v_l}, но направленную теперь в противоположную сторону.

С этой скоростью «жидкая колонна» (рис. 1.106, г) стремится оторваться от крана, в результате возникает отрицательная ударная волна под давлением р₀ — Друд, которая направляется от крана к резервуару со скоростью с, оставляя за собой сжавшиеся стенки трубы и расширившуюся жидкость, что обусловлено снижением давления (рис. 1.106, д). Кинетическая энергия жидкости вновь переходит в работу деформаций, но противоположного знака.

Состояние трубы в момент прихода отрицательной ударной волпы к резервуару показано на рис. 1.106, е. Таи же как и для случая, изображенного на рис. 1.106, б, оно ве является равновесный. На рис. 1.106, ж показан процесс выравнивания давления в трубе и резервуаре, сопровождающаяся возникновением движения жидкости со скоростью У_а.

Очевидно, что как только отраженная от резервуара ударная волна под давлением Др_уд достигнет крана, возникнет ситуация, уже имевшая место в момент закрытия крана. Весь цикл гидравлического удара повторится.

В опытах Н. Е. Жуковского было зарегистрировано до 12 полных циклов с постепенным уменьшением Др_7Д из-за трения в трубе и рассепвапия эпергни d резервуаре.

Протекание гидравлического удара во времени иллюстрируется диаграммой, представленной на рис. 1.107, а в б.

Диаграмма, показанная штриховыми линиями на рис. 1.107, а, характеризует теоретическое изменение давления в точке А (см. рис. 1.106) непосредственно у крана (закрытие крана предполагается мгновенным). Сплошными линиями дав примерный вид действительной картины изменения давления по времени. В действительности давление нарастает (а также падает), хотя и круто, но не мгновенно. Кроме того, имеет место затухание колебаний давления, т. е. уменьшение его амплитудных зпачеаий из-за трения и ухода энергии в резервуар.

Описанная картина изменения давления может возникнуть лишь в том случае, когда имеется достаточный запас давления р₀, т. е. когда р_д > Друд и при снижении давления на Ар_?я оно остается положительным. Если же давление р₀ невелико (что бывает очень часто), то первоначальное повышение давления при ударе будет примерно таким же, как и в предыдущем случае. Однако снижение давления на Ap_ro невозможно; абсолютное давление у крана падает практически до нуля ж —0,1 МПа), «жидкая колонна» отрывается от крана, возникает кавитация и образуется паровая каверна. В связи с этим нарушается периодичность процесса, и характер изменения давления по времени получается примерно таким, как показано па рис. 1.107, б.

Повышение давления Др_уд легко связать со скоростями v₆ и е, если рассмотреть элементарное перемещение ударной волны dx за время dt и применить к элементу трубы dx теорему об изменении количества движения. При этом получим (рис. 1.108)

{(Ро + Друд)—ро] S dt = S р (i>o — 0) dx.

Отсюда скорость распространения ударной волны с = dx/dt — Др,_л/(рг;₀), откуда

(1.164)

Друд — PVqC.

Полученное выражение поспт название формулы Жуковского.

Рпс. 1.108. Перенеще- Рис. l.ICf). Схемы деформации трубы н жидкости вне ударной волны за время dt

Но пока неизвестна скорость с, поэтому ударное давление Др_уд пайдем другим путем, а именно из условия, что кпкотическая энергия жидкости переходит в работу деформации: растяжения стенок трубы и сжатия жидкости. Кинетическая энергии жидкости в трубе радиусом г mv[l2 = nr^,/pi?;/2.

Работа деформации равна потенциальной энергии деформнровап-вого тела и составляет половину произведения силы на удлинение.

Выражая работу деформации стенок трубы как работу сил давления па пути Дг (рнс. 1.109, а), получаем Д/?_уд2яН Дг/2.

По закону Гука

„ ₌ ^г"К' + ^л')-'1,Е=—Е,

(1.165)

2лг    г

где с — нормальпоо палряжегтао в материале стешщ трубы, которое связано с дпвлервои Др>д и толщиной стенки в отношением

о = Др_удг/б.    (1.166)

Выразив Дг из уравпепия (1.163), а а из уравнения (1.166), получим работу деформаций стенок трубы

Аруцпг⁸1/{ЬЕ).

Работу сжатия жидкости объемом V можно представить как работу сил давления на пути ДI (рис. 1.109, 6), т. о.

~2 SAp„A/= | АрудАТ-' .

Аналогично закону Гука для линейного удлинения относительное уменьшение объема жидкости ДУ/V связано с давлением зависимостью

(AV/V)K = A_Pyn,

где К ~ среднее для данного А/>уд значение адиабатного модуля упругости ЖИДКОСТИ (CM. II. 1.3).

Приняв за V объем жидкости в трубе, получим выражение работы сжатия жидкости

* ЬРуцЯгЧ

2 К

Таким образом, уравнение энергий примет вид

Решая ого отноептельно Др_7а, полним формулу Жуковского

^Aft»~pV_P,к+&ж^=р°*-

(1.167)

Таким образом, скорость распространения ударной волны

1

(1.168)

^С Ур/К + '^г^ЪЬ)'

Если предположить, что труба имеет абсолютно жесткие стенки, т. в. Е =! оо, то от последнего выражения останется лишь У Kjp, т. е. скорость звука в однородпой упругой среде с плотнос-тыо р и объемным модулем К [см. формулу (1.10)]. Для воды эта скорость равна 1435 м/с, для бензина 1116 м/с, для масла 1200— 1400 м/с. Так как в рассматриваемом случае стенки трубы не абсолютно жссткпе, то величина с представляет собой скорость распространения ударной волпы в упругой жидкости, заполняющей упругий трубопровод. Эта скорость несколько меньше скорости звука.

Когда уменьшение скорости в трубе происходит не до нуля, а до значения v_lt возникает неполный гидравлический удар и формула Жуковского приобретает вид;

ДРуд = Р (^о — I’l) С,

Формулы Жуковского справедливы при очеггь быстром закрытии краеа или, точнее говоря, когда время закрытия

^аак <^гО= 2//С,

где (₀ — фаза гидравлического удара.

При этом условии имеет место прямой гидравлический удар. При t_saK > t₀ возникает непрямой гидравлический удар, при котором ударная волна, отразившись от резервуара, возвращается к крану раньше, чем он будет полностью закрыт. Очевидно, что повышение давления Дру_Д ири этом будет меньше, чем: Др_7Я при прямом ударе.

Рис. ?-110. Нарастввпе ударного давления при <зак > to

Рие. 1.111. Схемы тупикового трубопровода

Если предположить, что скорость потока при закрытии крана уменьшается, а давление возрастает линейно по времени, то можно записать (рис. 1.110)

ДРуп/ДРул ⁼ W^aaKi откуда

&p'i-_a — Apyslo/t9an = pv^c2l/{et_BaK)=pv_l)2lJt_3av.    **    (1.169)

В тупиковом трубопроводе ударное давление может увеличиться а 2 раза (под ударным давлением здесь понимается резкое повышение давления в трубопроводе, обусловленное внезапным подключением его к источнику высокого давления). Поясним это схемой (рис, 1.111, а) и следующими рассуждениями. Пусть трубопровод с начальным давлением р₀ отделен краном от со* суда большого объема (или пасоса) с высоким давлением p_t. При мгновенном открытип крана давление в начале трубопровода внезапно возрастает на Др_уя = р₁ — р₀. Возникшая волна давления со скоростью с перемещается к концу трубопровода. Давление за ее фронтом отличается от давления перед фронтом на Друд, а скорость жидкости в плоскости фропта возрастает от нуля до у₀, определяемой формулой (1.164):

(1.170)

^о = Друд/(рс).

В момент подхода фронта волны к тупиковому концу давление жидкости во всем трубопроводе увеличивается и» Друд и жидкость приобретает скорость v₀. Поскольку дальнейшее движение жидкости невозможно, скорость столба жидкости оолоостью гасится, дополнительно увеличивая, в свою очередь, давление на Д/Эуд = pVgC,

Таким образом, в трубопроводе возникает новая (отраженная) волна давления, направленная к крану (задвижке), за фронтом которой давление по сравнению с первоначальным возросло па 2Ap_w, а скорость жидкости и= 0 (рис. 1.111, б).

Формулы (1.164) и (1.168) получены при использовании ряда упрощающих допущений: справедливость закона Гука при деформации трубы и жидкости, отсутствие тренпя в жидкости и других видов рассеивания энергии в процессе удара и равномерпость распределения скоростей по сечению труби.

Экспериментальные исследования гидравлического удара показывают, что если жидкость не содержит воздушных примесей и начальное давление р₀ не велико, то, несмотря л а перечисленные допущения, формула Жуковского достаточно хорошо подтверждается опытом. Неравномерность распределения скоростей, а следовательно, я режим течения в трубе (ламинарное иди турбулентное), казалось бы, должны влиять на величину Др_уд, так как от этого зависит кинетическая энергия потока. Однако это влияние практически отсутствует. Объясняется его тем, что при внезапном торыозкешти потока происходят интенсивный сдвиг слоев жидкости и большая потеря энергии на впутреннее тревие, которая примерно компенсирует избыток кинетической энергии за счет неравномерности скоростей.

IIрн высоких начальных давлениях и больших Друд последние получаются несколько большими, чем по формуле Жуковского, вследствие возрастания модуля К, т. е. нарушения линейности изменения деформации но давлению.

Способы предотвращения и смягчения гидравлического удара выбирают для каждого конкретпого случая. Наиболее эффективным методом снижения Др_7д является устранение возможности прямого гидравлического удара, что при заданном трубопроводе сводится к увеличению времени срабатывания кранов и других устройств. Аналогичный эффект достигается установкой перед этими устройствами компенсаторов в виде достаточных местных объемов жидкости, гидроаккумуляторов или предохранительных клапанов. Уменьшение скорости движения жидкости в трубопроводах (увеличение диаметра труб при заданном расходе) и уменьшение длины трубопроводов (для получения непрямого удара) также способствуют снижению ударного давления. Иногда вместо всех перечисленных способов уменьшения Др_уд предпочитают простое повышенно прочности слабых звеньев системы.

Представляет интерес сопоставление ударного давления Друд с инерционным р_сн = pgfi„H (см. п. 1.47).

Если рассматривать непрямой удар и предположить, что скорость жидкости у₀ уменьшается при закрытии крапа по яииейпоыу

закону в функции времен в t, то в формуле (1.169) отношение и₀/?эая можно заменить ускорением а = do/dt. Тогда эта формула примет вид Ap'jn — 2рal или Дh;_a = Ap'_yaJ(pg) = 2 (a/g) I = 2k_m.

Таким образом, ударный напор (или давлевие) при непрямом гидроударе в 2 раза больше инерционного напора. Следовательно, если требуется рассчитать трубу на прочность, то расчет следует вести не но инерционному, а по ударному давлению.

Рис. 1.112. Сравнение ударного и инерционного давлений

На рис. 1.112 дан график сравнения ударного Д/>уя (сплошная линия) п инерционного р_вв (штриховая линия) давлений в зависимости от времепи закрытия крана. Первое построено по формуле (1.169) при t_sав > г₀, а при ?зак<?₀ в соответствии с (1.164) принято постоянным; второе определено по формуле (1,163) с заменой а = v₀/tt_ак и р_вя =

= Pf'W

Как видно на графика, построенного при v₀ = const, при ;_эав = /₀/2 Д^уд = р_ш. Одпако прп t_3ae < t_a инерционное давление является нереальным; при (_3aIf > t_Q инерционное давление можно рассматривать как осреднснное по времени давление при гидравлическом ударе.

Г л а в а И. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОТОКА

С ОГРАНИЧИВАЮЩИМИ ЕГО СТЕНКАМИ*

1.49. Силы действия потока на стенки канала

Определим силу, с которой поток действует на стенки неподвижного канала па участке между сечениями 1—1 и 2—2 (рис. 1.113). Движение жидкости принимаем установившимся.

На жидкость, находящуюся на участке потока, действуют следующие внешние силы:    — сила давления в сечении 1—1; F_% —

Шшвсана О. В. Байбаковым.

сила давления в сечении 2—2\ G — вес жидкости; R — сила, с которой стенка канала действует на жидкость. Последняя является равнодействующей сил давления и "“трения, действующих на жидкость по поверхности стенки капала.

Результирующая внешних сил, действующих на жидкость,

F^^+Ft + G+R.

Согласно уравнению (1.67) количества движения F =    +    F_t    +    G    + R = 0^Г_г - Q^vl.

Вследствие равенства сил действия и противодействия сила R, с которой стенка действует на жидкость, равна силе N, с которой жидкость действует на стенку, и направлена в обратную сторону: N = — R. Тогда N = F₁ + F₂ + G + Q^Vi-~0^Щ-    (1-171)

В этом уравнении вектор + Р_г + G — Ncv — статическая составляющая реакции потока; вектор Q,_nv, — — Q_mv_t —    —    цинаниче-

ская составляющая реакции потока.

Силы давлепия Fx = p_lS₁\ Г, = р,3₉,    (1-172)

где и р, — дайленоп в центрах тяжести входного и выходного сечений; и S₂ — площади входного и выходного сечевий иотока.

Нагрузка на степкн канала определяется разностью давлений жидкости на внутреннюю поверхность степки и атмосферного давления на наружную поверхность. Поэтому силы Р_л и F_s следует находить по избыточным давлениям и р₂.

Например, пусть жидкость вытекает пз резервуара через колено и присоединенный к нему насадок (рис. 1,114, а). Определим силы, нагружающие болтовые группы фланцевого соединения А. Вес ко-лепа и насадка учитывать не будем.

Для решения задачи сечением 1—1, проведенным через фланцевое соединение А, отрежем колено и насадок (рис. 1.114, б). Рассмотрим их равновесие. На отрезанные колено и насадок действуют силы А^г_р растягивающая и А'_ор срезающая болты, и сила, с которой поток действует на стенки колена и насадка. Согласно уравнению (1.171), последняя складывается из силы давления F_t = р в сечении 1—1, веса G жидкости в'колене и насадке, динамических реакций уУдищ — Qm^vi — Q P^yi потока в сечении 1—1 и iV_aHH2 =

— QmPi — Q 9^иг ^в выходном сечении 2—2 насадка (здесь рщзб»

и 1?_г — соответственно избыточное давление, площадь сечения и скорость жидкости в сечении 1 — 7; р_а — скорость жидкости на выходе из насадка). Сила давления в сечении 2—2 F_г — 0.

Спроектировав всо силы на горизоитальцоо и вертикальное направления, получим

N_V = F^N_Wш; jV_cp = G + AW

Определим силу действия потока на стенки движущегося канала. В этом случае движение жидкости является сложным, ее частицы движутся, во-первых, относительно канала, во-вторых, они вместо с каналом совершают переносное движение. Относительное движение жидкости принимаем установившимся.

Для решепия поставленной задачи необходимо применить уравнение (1.67) количества движения к относительному движению жидкости. На жидкость, находящуюся в относительном движении, кроме сил F_x и F<z давления во входном и выходном сечениях, силы R реакция стенок канала и веса G, действуют переносная сила инерции U_neр и корполисова сила иперции ?Л<_ор. Из уравпения количества движения получим, что сила действия потока на стенку движущегося канала

N = — R = F_l + P₉ + G + U_mv + U_VOv + Q^i-Q^^    (1.173)

гдо Q_m,p — массопый расход жидкости в канале; и>₁ и ил_; — относительные скорости жидкости во входном и выходном сечениях участка.

При поступательном движении канала (вращательное движение канала вокруг центра тяжести отсутствует) кориолисова сила инерции равна нулю, а переносная сила инерции равна произведению ускорения / канала на массу яшдкости в ием:

U„=jOlg.    (1.174)

Если капал движется поступательно, с иостоянной скоростью, то 17,_!0р = 0, и_вер = 0 и

N = F₁-\-F_i-\-G^_rQ_mtiw₁ — Q_mww₂.    **    (1.175)

1.59. Сила действия струи на стенку

Определим силу действия свободной струи, вытекающей из отверстия или насадка, на неподвижную стенку. Эта задача является частным случаем рассмотренной в предыдущем параграфе задачи определения силы действия потока па стенки канала. Рассмотрим сначала стенку конической формы с осью, совпадающей с осью струи (рис. 1.115). Сечениями 1—1 и 2—2 выделим участок потока. Сечение 2—2 представляет собой поверхиость вращения. Так как давления во входном 1—1 и выходном 2—2 сечениях равны атмосферному, то силы Fj и F₂ давления равны нулю. Весом выделенного участка потока пренебрегаем. При этом статическая реакция потокй

N^_T = F₁+F_i + G = 0 и N^Nwh^QIvi-Q^Vz-    (1.176)

Если пренебречь весом жидкости и, следовательно* разнипей высот различных точ-ек сфшшш 2—2. а также гидравлическим сопротивлением, то из уравнения Бернулли, написанного для сечений 1—1 и 2—2, получим, что скорости в этих сечениях одинаковы: i?j = = i?₂ = v. Вводу осевой симметрии потока сила его действия на стенку направлена вдоль оси. Спроектировав на это направление векторы сил, входящих в уравнение (1.176), получим N —    — Q_mVt cos а = Q_mv (1 — cos a).    (1.177)

Рассмотрим частные случаи.

1.    Струя натекает на плоскую стенку (рис. 1.116, а), перпендикулярную к потоку (а = 90^е).

При этом

N=Q_mv.    (1.178)

2.    Стенка иыеет чашеобразную форму (рис. 1.116, б). Струя поворачивает на угол а = 180°. При этом

N = 2 Q_mv.    (1.179)

Определим силу действия струи на плоскую неподвижную стенку, расположенную под углом а к оси струи (ряс. 1.117). Принимаем,

Рве. 1.115. Схема для определения еялы действия струи на пеподвняшое коническое тело

Рис. 1.116. Частпые струи на етенкн

что жидкость растекается по поверхности стенки только двумя потоками, массовые расходы которых равны Q_m2 и Q_m3. Для того чтобы жидкость не мсн-ла растекаться в боковые стороны (перпендикулярно к плоскости чертежа), стенке придаем форму желоба. Принимаем, что силы трення по поверхности етенкн пренебрежимо малы. При этом сила N действия струи на стенку направлена перпендикулярно к стейке. Выделим сечениаия 1—1, 2—2 и 3—3 участок потока. Так как силы F_u F_t и F, давления, действующие в сечениях 1—1, 2—2 н 3—3 равны нулю, а вес жидкости пренебрежимо мал, статическая реакция нотока равна нулю и сила действия потока на стенку

N - Njfss = QmlVl — Qm2V'i ^roS^S-

Спроектировав векторы сил, входящих в уравнение, на направление у, перпендикулярное к стенке, и направление х, параллель-нов ей, подучим

N_y = N = Q_mlv_lsina\    (4. ISO)

ЛГ_Я = 0 = Q_miVi cos а — Q_miVi -f Q_m3v₃.    (1.184)

Если пренебречь гидравлическими потерями ыа трение жидкости

о стенку, то скорости в сечениях 1—1, 2—2 и 3—3 будут равны. При отоы из уравнения (1.181) получим

Q_mj cos а — Q_mi -f Qnз = 0.    (4.482)

Согласпо уравнению расходов

=    +    (1-183)

По уравнениям (1.182) в (1.183) можно определить расходы <?«, и Q_m3.

Силу воздействия свободной струи на коническую стейку, движущуюся поступательно с постоянной переносной скоростью и

I плоскую наклонную

Рис. 1.118. Схема натекания струи i движущееся коническое тело

(рис. 1.118), можно найти по уравнению (1.175). Его следует применить к участку струи, расположенному между сечениями 1—1 и 2—2. Так же как а в случае неподвижной стенки, статическая реакция

3?_C, = F₁ + Fj + G**0.

Сила действия струи па стенку направлена вдоль оси. Спроектировав на ато направление векторы сил, входящих в уравнение (1.175), нолучим

N—Q_mw (и>1 — W2 cos а).

Относительная скорость жидкости в сечении 1—1

ш₁ = у₁ — ц,

где !>_г — абсолютная скорость жидкости в струе.

Пренебрегая гидравлическими потерями и разницей высот точек в сечениях 1—1 и 2—2, из уравнения Берпулди для относительного движения получим w₂ = w_v Массовый расход жидкости относительно стенки

Qmw ” P^'i-S = р {V\ — и) S,

где S — площадь сечения струн.

Отсюда сила действия струи на стенку jV=pS (i>! — u)²(l — cos а).    (1.184)

1.51. Уравнение моментов количества движения для установившегося движения жидкости в равномерно вращающихся каналах

Пусть тело А (рис. 1.119) массой т движется со скоростью v. Спроектировав количество движения тела то на направление,

Рис. 1.119. Момспт    Рис. 1.121). К выводу уравнения но*

количества движения    ыентов количества движения для ус

тановившегося движения жидкости

\ \

\ \

\ \

\да \

\ \

\ \

\ \| Хр\о

перпендикулярное к лучу, проведенному к телу А из точки О, и умножив полученную проекцию на расстояние ОА — R получим момент количества движения тела относительно точкп О: L=mvcosa.R.    (1.185)

Если на тело действует сила, то за счет изменения его скорости количество движения, а следовательно, и момент количества движения изменяются. По теореме о моменте количества движения

секупдиое изменение момента количества движения равно моменту внешних сил, действующих на данное тело:

dL/dc = М.

(1.1S6)

Применим уравнение моментов количества движения к установившемуся потоку жидкости в равномерно вращающемся канале (рис. 1.120). Выделим контрольными поверхностями А и В объем жидкости, находящейся в канале. Через промежуток времени dt объем жидкости АВ переместится в положение А'В'.

Изменение момента количества движения жидкости за время dL — ?.4-п— Lab-

Объем А'В' состоит из объемов А'А и АВ'. Момент количества движения жидкости в объеме А'В' равен сумме моментов количества движения жидкости в объемах А'А и АВ':

— La'a + ?ав^г-

Аналогично объем АВ состоит из объемов АВ' и В'В. Тогда Lab = Lav.' -f- Лв< в.

При установившемся движении момепт количества движения жидкости в объеме АВ' как в уравнении для La’B' (момент времени t + dl), так и в уравнении для Lab (момент времени t) одинаков, поэтому

AL — La-в- — Lab = (La- а + Lab-) — (Law + Lb’ в) = La-a — Lb-b-

Объемы А'А и BB' равны объемам жидкости, протекающей через поверхности А и В за время dt. Следовательно, массы жидкости в этих объемах равны Q_mdt, где Q_m — массовый расход, который при установившемся движении жидкости одинаков для сечений А и В. Отсюда

dL = Q_m dh\ cos а_гЯ,_г — Q_m dlv_y cos = Q_m dt (i— f_uA)>

где v_ui = y, cos и v_ui = v₂ cos a« — окружные составляющие олютной скорости потока на входе в канал и на выходе из нею, равной геометрической сумме v = и + w (см. рис. 1.120).

Секундное изменение момента количества движения жидкости, находящейся в канале, равно моменту М девствующих па нее внешних сил:

dL jdt = Q_m (i>_lta^?s — P_uifii) = M.

(1.187)

К внешним силам, действующим па жидкость в канале, относятся силы, с которыми стенки канала действуют на жидкость, силы давления и трения на поверхностях А и В и сила тяжести. По уравнению (1.187) можно определить момент сил действия стенок канала па жидкость.

Часть 2. лопастные насосы и гидродинамические передачи глава 12. основы теории лопастных насосов  »

Библиотека »