Математический аппарат, используемый в механике жидкости

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ

ОДЕССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Иванов К. Ф., Сурков С. В.

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ДЛЯ СТУДЕНТОВ МЕХАНИЧЕСКИХ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

ЧАСТЬ 1

ОДЕССА ОГПУ 1995

УДК 62-82(075)

Иванов К.Ф., Сурков С. В. Механика жидкости и газа. Конспект лекций для студентов механических и энергетических специальностей. Часть 1. - Одесса: ОГПУ, 1995. - 119 с.

Рецензенты:

ISBN 5-7763-1624-3

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЙ В МЕХАНИКЕ ЖИДКОСТИ

В науке нет другого способа приобретения, как в поте лица: ни порывы, ни фантазии, ни стремление всем сердцем не заменяет труда.

А. И. Герцен

Изучение механики жидкости и газа, понимание сущности рассматриваемых физических явлений и процессов тесно связано с усвоением достаточно развитого математического аппарата, которым эта наука оперирует. Принципиально гидромеханика может излагаться как на базе векторного, так и координатного методов. Вопрос о том, какому из них отдать предпочтение, с давних пор служил источником дискуссий. Так, например, известный физик Уильям Томсон (лорд Кельвин) считал, что «векторы сберегают мел и расходуют мозг». Противником использования аппарата векторного анализа являлся и академик А.Н.Крылов, приводивший достаточно веские аргументы против его применения. Тем не менее векторное построение курса находит широчайшее применение. Одной из причин этого является общая тенденция к сокращению времени, отводимого на изучение дисциплины. В настоящем пособии не отдается решающее предпочтение ни одному из этих методов, они используются по мере необходимости с учетом конкретной ситуации и стремления наиболее простым и доступным способом донести до изучающего содержание вопроса.

Ниже приводятся некоторые, необходимые для понимания дальнейшего, сведения из векторного анализа и теория поля, в основном известные студентам из курса математики. Разумеется, что в рамках пособия они не могут претендовать на достаточную глубину и широту и носят рецептурный характер. Желающим основательно углубить свои знания в этой области можно рекомендовать книгу: Кальницкий Л.А., Добротин Д.А., Жевержеев В.Ф. Специальный курс высшей математики для втузов. М.: Высшая школа, 1976. - 389с.

Одной из важнейших особенностей механики жидкости является то, что в основу ее положена так называемая модель сплошной среды. Как известно, для описания среды, состоящей из большого числа молекул в сравнительно малом объеме (жидкости и газы) в физике широко используются два пути: феноменологический и статистический (иногда их называют корпускулярной и континуальной моделями). Феноменологический путь изучения основывается на простейших допущениях. Оставляя в стороне вопрос о строении вещества, он наделяет его такими свойствами, которые наилучшим образом устанавливают соответствие между наблюдаемыми явлениями и их описанием.

При таком подходе жидкости (газы) рассматриваются как непрерывная среда, способная делиться до бесконечности. Другими словами, жидкость (газ) представляется состоящими из достаточно малых частиц непрерывным образом заполняющих пространство. Эта среда обладает свойством инерции и наделена различными физическими свойствами. В соответствии с такой моделью все параметры жидкости (плотность, вязкость и др.) изменяются непрерывно от точки к точке, что позволяет при анализе движения среды применять математический аппарат дифференциального и интегрального исчислений хорошо разработанный для непрерывных функций.

Понятие о частицах жидкости, которым широко оперирует механика жидкости и газа, неразрывно связано с понятием о физически бесконечно малом объеме. Это объем, размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с характерными размерами объекта, но он содержит в себе настолько много молекул, что его средние характеристики (например, плотность) становятся устойчивыми по отношению к изменению объема. Поэтому, например, фраза «объем стягивается в точку» означает, что он стремится не к нулю, а к физически бесконечно малому объему. Следует твердо усвоить, что все законы механики жидкости справедливы до тех пор, пока справедлива модель сплошной среды. Количественно это можно оценить по величине числа Кнудсена, представляющего отношение длины свободного пробега молекул l к характерному размеру течения L, т.е.

Kn = L    (1.1

Принято считать, что законы механики жидкости справедливы, если Kn < 0,01.

1.1. Векторы и операции над ними.

Полем какой-либо величины называется пространство, в каждой точке которого эта величина вполне определена. Если эта величина скаляр, т.е. характеризуется одним числом, то поле называют скалярным (поле плотности, поле температуры).

Векторным называется поле, которое характеризуется в каждой точке пространства величиной и направлением. К этому следует лишь добавить, что непременным условием, связанным с векторными величинами, является то, что они должны складываться по правилу параллелограмма. Поэтому, например, поток автомашин, движущихся по улице и характеризующийся как величиной, так и направлением не является вектором.

Единичные векторы (орты) в декартовой системе координат будем обозначать e_x, e_y, e_z. Тогда вектор U может быть представлен

как

где а- угол между векторами.

Ясн о, что скалярное произведение обращается в нуль, если векторы u и v взаимно перпендикулярны.

1. Векторное произведение двух векторов.

В противоположность скалярному произведению, здесь первое слово указывает на то, что результат действия есть вектор.

Векторное произведение может быть записано в виде определителя третьего порядка

^ez

^Uz

^Vz

(1.4)

Раскрывая определитель по общим правилам, получаем:

^{U X v} = Зс (^uy^vz ^{- u}z^vy) ^{- e}y (^ux^vz - ^uz^vx ) + e- (^ux^vy ^{- u}y^vx ) 0.5)

1.2. Операции первого порядка (дифференциальные характеристики поля).

В теории поля рассматриваются три так называемые операции первого порядка. Эти операции позволяют, выполнив определенные математические действия превратить

-    скалярную величину в векторную;

-    векторную величину в скалярную;

-    векторную - в другую векторную;

Эти операции соответственно называются: градиент, дивергенция и ротор (вихрь). Рассмотрим каждую из них.

Градиент какой-то скалярной функции р(х, у, z) есть вектор,

образующийся в результате выполнения следующих действий:

.    r др    r др    r др

g^rad р = е дх    + e д_У    + e д    (¹⁶)

Физически градиент есть вектор, в направлении которого функция в данной точке поля изменяется с максимальной скоростью. Дивергенцией вектора u называется выражение вида

..    r ди_х    dUy    du_z

div    u = ^r±    + ^т^ +    ^r^z    (17)

дх    ду    дz    ^v’

Следовательно, любое векторное поле дает некоторое скалярное поле, а именно поле своей дивергенции (расходимости). Если div u = 0, то поле называют соленоидальным.

Вихрь поля (ротор) - это вектор, образующийся при выполнении операции

\ду    дz)    \ дz    дх)    V дх    ду)

Если rot u = 0, то поле называют безвихревым.

Каждая из трех операций имеет гидродинамическую интерпретацию, которая приводится в соответствующих разделах курса.

1.3. Операции второго порядка.

Операции grad р, div u, rot u, переводящие скаляр в вектор, вектор в скаляр и вектор в вектор порождают пять операций второго порядка:

-    превращение скалярной величины в векторную

grad (div u);

-    превращение векторной величины в скалярную

div (grad p);

div (rot u);

-    превращение одной векторной величины в другую

rot (grad p);

rot(rot u).

В теории поля показывается, что два из этих пяти соотношений тождественно равны нулю: div (rot u) = 0 и rot(grad p) = 0.

, г г rot u = е_х

г

дu_z    дu_y \    Г ( д u_v д u^ 1    г (дu_y    дu

х

(1.8)

+ ^еу

+ ^ez

Операция div (grad p) носит название оператора Лапласа для скалярного поля и имеет вид

₍    ч    д²p    д²p д² p

^{div (}g^radр) = д2 +    + д2

дх    ду    dz

Если рассматривается векторное поле ротора (rot U), то поток этого поля представляется как

jJ(rot и) n dS (1.11)

s

1.4.2. Циркуляция вектора поля.

Пусть рассматривается векторное поле какой-то величины и. Циркуляцией вектора и вдоль контура L называют криволинейный интеграл вида

r dl

1.4. Интегральные соотношения теории поля.

1.4.1. Поток векторного поля.

Пусть dS (рис. 1.1) - элемент поверхности, а n - единичный вектор, направленный по внешней нормали.

П отоком векторного поля (например, и) называют поверхностный интеграл вида

и

(1.10)

(1.12)

Иногда этот интеграл интерпретируется как «работа» векторного поля вдоль контура L. Если циркуляция векторного поля вдоль замкнутого пути (контура) равна нулю, то поле называют потенциальным.

1.4.3. Формула Стокса.

Эта формула позволяет преобразовать криволинейный интеграл вдоль замкнутой пространственной кривой в поверхностный интеграл по поверхности, натянутой на эту кривую, т.е.

(1.13)

L    S

т.е. циркуляция вектора поля вдоль контура равна потоку вихря через поверхность, ограниченную этим контуром.

я

n dS

=f^и

j и ¦ dr = jj(rot и) ¦ n dS

1.4.4. Формула Гаусса-Остроградского.

Это соотношение, часто называемое преобразованием Гаусса-Остроградского, связывает поверхностный интеграл по замкнутой поверхности с тройным интегралом по области, ограниченной этой поверхностью

Uи ¦ n dS = JJJdiv и dV

(1.15)

S    V

Формула показывает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность равен тройному интегралу от дивергенции поля по объему, ограниченному этой поверхностью.

В механике жидкости широко используется формула, являющаяся следствием формулы Гаусса-Остроградского для скалярного поля

!И^dS = JJJ^grad (р dV    (1.16)

S    V

где р - какая-то скалярная функция.

2. ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И ПАРАМЕТРЫ ЖИДКОСТИ. СИЛЫ И НАПРЯЖЕНИЯ.

Сначала это покажется сложным, но сначала все сложно.

Мусаши.

Физические свойства и параметры, характеризующие жидкость, достаточно полно изучаются в курсе физики. Поэтому в настоящем пособии рассматриваются лишь те из них, которые непосредственно связаны с явлениями и процессами, типичными для гидромеханики.

2.1. Плотность.

Под средней плотностью, либо, что то же, плотностью физически бесконечно малого объема, понимают частное от деления его массы на объем, т.е.

р=M    м>

Плотность выражается в кг/м³.

В литературе часто оперируют понятием удельного веса, т.е. частного от деления веса частицы на ее объем

G gM

Y = — = ——    (2.2)

^Г V V

Как следует из (2.2), удельный вес выражается в Н/м³. Заменяя в (2.2) M/V его значением из (2.1), получаем связь между плотностью и удельным весом:

Y = pg    (2.3)

Таким образом, в международной системе (СИ) плотность воды при t = 4° C р= 1000 кг/м³, а ее удельный вес у = 9800 Н/м³.

2.2. Вязкость.

Под вязкостью понимают свойство жидкости оказывать сопротивление перемещению ее частиц. Физической причиной вязкости является молекулярное взаимодействие. Вследствие различия в молекулярной структуре капельных жидкостей и газов различна и природа их вязкостей. В жидкостях вязкость есть проявление сил сцепления между молекулами, в газах она -результат взаимодействия, обусловленный хаотическим движением молекул. Поэтому при повышении температуры в газах вязкость увеличивается за счет более интенсивного движения молекул. Наоборот, в капельных жидкостях повышение температуры приводит к снижению вязкости, т.к. происходит увеличение среднего расстояния между молекулами.

Равновесное состояние вещества характеризуется распределением его параметров в пространстве. Если за счет какого-либо воздействия окажется, что в каком-то месте пространства возникла неравновесность, то в веществе начинает происходить механический или тепловой обмен, который стремится сгладить неравномерность. В общем случае этот обмен называют процессом переноса. В различных явлениях можно наблюдать процессы переноса энергии, массы (вещества) и количества движения. Как будет показано ниже, вязкость обусловлена процессом переноса количества движения.

Для уяснения того, как проявляются силы вязкости, рассмотрим течение жидкости в круглой трубе. Будем считать, что векторы скоростей частиц параллельны оси х. Забегая вперед, отметим, что такое течение существует в природе и носит название ламинарного.

b

a

Пользуясь чисто интуитивными

представлениями, установим вид распределения скоростей в поперечном сечении потока. Сразу же отметим, что графическое изображение распределения скоростей в поперечном сечении называют эпюрой скоростей (либо полем скоростей). Очевидно, что скорости частиц, находящихся на стенках трубы, равны нулю и возрастают по мере приближения к оси (на оси u = u _max) как это показано на рис. 2.1.

Рассмотрим два слоя жидкости (a-a и b-b), расположенные на расстоянии dy. Пусть слой a-a движется со скоростью u, тогда, как следует из эпюры, слой b-b имеет скорость u+du. Таким образом, на верхней и нижней гранях прямоугольной жидкой частицы, расположенной между слоями, скорости различны, что в соответствии с законами механики должно привести к ее деформации. Заметим, что такое движение в гидромеханике называют простым сдвигом, либо течением чистого сдвига.

Взаимодействие молекул через этот элемент приводит к появлению касательной составляющей напряжения. При этом знак этой составляющей, т.е. ее направление, таково, что оно соответствует уменьшению разности скоростей по обе стороны рассматриваемого элемента. Величина силы трения, возникающая между слоями движущейся жидкости, определяется по формуле, предложенной Ньютоном и подтвержденной многочисленными и тщательно поставленными опытами нашего соотечественника профессора Н.П.Петрова. Эта формула имеет вид:

du dy

где S - площадь поверхности соприкасающихся слоев;

- - динамическая вязкость, зависящая от физической природы жидкости, ее агрегатного состояния и температуры, и практически не зависящая от давления. Динамическая вязкость выражается в Пас.

В технических приложениях часто используется не динамическая, а кинематическая вязкость, представляющая собой отношение

v =-    (2.5)

^р

Кинематическая вязкость выражается в м²/с.

du

Величина — характеризует изменение скорости в dy

направлении нормали к ней, либо, если говорить об эпюре - темп изменения скорости. Иногда эту величину называют поперечным градиентом скорости.

Разделим правую и левую части (2.4) на S. Отношение Р_тр / S

есть не что иное, как касательное напряжение т, т.е.

т-=Л    (2.6)

dy

Таким образом, можно сказать, что вязкость жидкости - это способность ее оказывать сопротивление касательным напряжениям.

Из (2.6) можно сделать еще один важный вывод. Если жидкость находится в состоянии покоя, то и = 0 и, следовательно, т= 0, т.е. в покоящейся жидкости силы вязкости не проявляются. Это согласуется и с обычными житейскими представлениями. Действительно, для того, чтобы ответить на вопрос о том, является ли вязкой среда, налитая в сосуд, например, стакан, стоящий на столе, необходимо либо попытаться перелить ее в другой сосуд, либо, обмакнув в нее какой-то предмет, посмотреть как она стекает с него. Смысл этих действий в том, что мы интуитивно чувствуем, что требуется наблюдать движение этой среды.

Выше было высказано предположение, что вязкость обусловлена переносом количества движения. Для того, чтобы убедиться в этом, рассмотрим формулу Ньютона с позиций физических величин, входящих в нее

му

кг

Н

кг • м

м с² • м

В числителе - количество    движения, т.е.    т -    это количество движения,

переносимое через единицу поверхности в    единицу времени.

И, наконец,

A dl    установим    физический

-I Ы    U+dU    смысл поперечного

о о    о    —    градиента скорости, для

чего рассмотрим жидкую частицу, показанную на рис. 2.2. Вследствие разности скоростей на верхней и нижней гранях, первоначально прямоугольная частица будет деформироваться и превращаться в параллелограмм.

Отрезок dl

характеризует величину деформации за время dt, т.е. dl = du • dt,

м ²с

У

Рис. 2.2

X

du dl dl    du    tg    y    ^

тогда — =-, но — = tg y, тогда — =    . Следовательно,

dy dt • dy dy    dy    dt

поперечный градиент скорости представляет собой скорость

относительной деформации сдвига. Таким образом, касательное

напряжение в жидкости линейно зависит от скорости относительной

деформации. В этом принципиальное отличие жидкости от твердого

тела, в котором касательные напряжения зависят от величины

деформации, а не от ее скорости.

Жидкости, удовлетворяющие (2.6) называются ньютоновскими, а не подчиняющиеся этой формуле - неньютоновскими. К числу последних относятся растворы полимеров и др.

2.3. Классификация сил.

Как и в механике твердого тела, в гидромеханике силы классифицируются по разным признакам: внутренние и внешние, сосредоточенные и распределенные.

Очевидно, что в механике жидкости могут рассматриваться лишь распределенные силы, не вызывающие деформации жидкого тела. При этом они должны быть внешними по отношению к объекту. Перевод внутренних сил в категорию внешних производится известным методом (метод сечений, либо метод «замораживания»), суть которого сводится к тому, что в среде выделяется («замораживается») замкнутый объем, внешняя среда мысленно отбрасывается и ее действие заменяется действием распределенных сил. Важнейшей особенностью гидромеханики как науки является то, что в ней, помимо приведенной выше классификации, силы разделяются на массовые и поверхностные.

2.3.1. Массовые силы.

Массовыми называют силы, величина которых пропорциональна массе рассматриваемого объема. Важнейшей особенностью является то, что они действуют на все частицы жидкости. В общем случае это силы, подчиняющиеся второму закону Ньютона F = та. В проекциях на декартовы оси координат можно записать: F_x = ma_x; F_y = ma_y; F_z = ma_z. В гидромеханике вместо

a_x, a_y, a_z принято писать X, Y, Z. Поделив обе части записанных

F    F    F

выражений на массу, получим    —    = X;    —    =    Y;    — = Z.

m    m    m

Таким образом, X,    Y и    Z есть проекции    единичных массовых

сил на соответствующие координатные оси, иногда их называют напряжениями массовых сил. Если в жидкости выделить элементарный объем dV, то его масса - pdV. В общем случае массовая сила, действующая на этот объем pFdV, а главный

вектор массовых сил, действующих на весь объем, представляется как

Hjphv    (².⁷)

v

2.3.2. Поверхностные силы.

В отличие от массовых, поверхностные силы действуют лишь на частицы, находящиеся на поверхности жидкого объема.

Выделим на поверхности жидкого объема элементарную площадку A S, ориентация этой площадки в пространстве задается внешней нормалью n. Обозначим через Ap_n поверхностную силу,

A¹ r

приложенную к площадке A S. Предел отношения lim —ⁿ = p_n

as^0 AS

называют напряжением поверхностной силы.

Таким образом, первое, что необходимо усвоить при рассмотрении этого вопроса - это то, что под действием внешних сил в жидкости возникают напряжения. И второе по порядку, но не менее важное по существу.

В общем случае p_n не является обычным вектором. Его величина зависит от ориентации площадки в пространстве. Это означает, что если через данную точку пространства провести одинаковые по величине, но

Р_ис. 2.3    различно ориентированные

площадки, то действующие на них напряжения поверхностных сил

будут различны.

Физическая величина, характеризуемая в данной точке вектором p_n, принимающим бесконечное множество значений в зависимости от ориентации площадки, называется тензором напряжений.

Таким образом, на площадку dS действует поверхностная сила p_ndS, а на всю поверхность, ограничивающую объем V

JJ PndS    (2.8)

S

Проекция p_n на направление нормали называется нормальным напряжением, а проекция на площадку действия

- касательным напряжением.

2.3.3. Тензор напряжения.

Для уяснения дальнейшего необходимо подробней рассмотреть вектор

^pn.

В движущейся среде мысленно выделим частицу в форме жидкого тетраэдра.

Пусть n - внешняя нормаль к четвертой (наклонной) грани тетраэдра , а площадь этой грани dS (см. рис. 2.4).

Площади других граней - соответственно dS_X, dS_y, dS_z, т.к. их

можно рассматривать как проекции грани ABC на координатные оси. Следовательно, dS_X = dS cos(n, X) = n_XdS, где n_X обозначает направляющий косинус. Аналогично, dS_y = n_ydS, dS_z = n_zdS.

Обозначим объем тетраэдра dV, тогда действующая на него

¦

массовая сила pFdV, а массовая сила инерции p'adV, где a вектор ускорения жидкого тетраэдра. Поверхностная сила, действующая на наклонную грань - p_ndS. Для трех других граней можем записать:

-^p x^dSx = -^p xⁿx^dS

-pydSy = -pynydS

-pzdSz = -pznzdS    _{r r}

Рис. 2.4    Знаки минус, т.к. векторы p_x, p_y

и p_z направлены в стороны, противоположные координатным осям.

Запишем уравнение движения тетраэдра, которое в соответствии с общими законами механики должно иметь вид:

Масса ¦ ускорение = (результирующая массовых сил) +

+ (результирующая поверхностных сил).

И меем:

p^dV = pFdV + p_ndS - p_Xn_XdS - p_yn_ydS - p_zn_zdS

¦

Слагаемые padV и pFdV есть величины третьего порядка малости, а остальные - второго, поэтому ими можно пренебречь, что дает

pn = n_xp_x + nypy + n_zp_z    (2.9)

Из этого равенства следует, что напряжение p_n при произвольной ориентации нормали n может быть определено, если известны

напряжения в той же точке для площадок, внешние нормали которых параллельны осям Ox, Оу и Oz.

kPzz

Проекции векторов p_x, р_у и p_z на

Рхх

координатные оси х, у, z обозначаются:

х

^Рхх ^Рху ^Pxz ^Р ух ^Р уу ^Р yz

Pzx Pzy Pzz Первый подстрочный индекс указывает ось,

перпендикулярную ориентации площадки, второй - ось, на которую спроектировано напряжение.

Для уяснения ориентации рассмотрим параллелепипед, выделенный в движущейся жидкости и показанный на рис. 2.5.

Из рисунка, в частности, видно, что напряжения с одинаковыми индексами являются нормальными, а с разными - касательными. В проекциях на декартовы оси координат выражение (2.9) может быть записано как

Рпх =    ^ПхРхх    +    ^ПуРух    + ⁿzPzx

Рпу =    П хРху    +    ПуРуу    + nzPzy    (2. 10)

Pnz =    ⁿxPxz    +    ⁿyPyz    + ⁿzPzz

Совокупность этих девяти составляющих компонентов напряжения образует тензор напряжения. В матричной форме он записывается в следующем виде:

В тензорном анализе доказывается, что тензор напряжений является симметричным. Это означает, что величины, расположенные симметрично главной диагонали, равны (р_ух = р_ху;

Pxz = P_zx; P_zy = P_yz). Следовательно, для определения тензора

напряжений достаточно знать не девять, а шесть скалярных величин.

Следует учесть одно обстоятельство. Векторы напряжений p_x, p_y, p_z в соотношении (2.9), носящем имя Коши, и приложенные к

координатным площадкам, не имеют объективного физического смысла, т.к. зависят от выбора системы координат. Поэтому такие величины причисляются к так называемым «квазивекторам», хотя к ним и можно применять все операции, применимые к физическим векторам.

К понятию тензора можно подойти и другим путем, который, возможно, покажется более простым. Поэтому целесообразно хотя бы кратко остановиться на нем. Для наглядности тензор можно представить как какой - то оператор , с помощью которого можно преобразовывать векторы в векторы. Упрощая и сводя математический аппарат к механическому, оператор можно представить как какую-то «машину», которая по определенным правилам перерабатывает вводимые в нее векторы. Зная принцип работы этой «машины», можем знать и вектор, который появляется на выходе. Можно записать

I    ^{1    1}

_r    a    =    A    •    B

где a- входной вектор;

B_I - выходной вектор;

A - оператор, который и называют тензором.

Существенное ограничение заключается в том, что оператор должен быть линейным. Определить тензор - это значит задать правила, по которым работает оператор. Для интересующихся таким подходом можно рекомендовать книгу Астарита Дж., Марручи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. - М.: Мир, 1978.307с.

И в заключение еще несколько замечаний. Выше уже отмечалось, что одно из фундаментальных свойств жидкости - ее вязкость - не проявляется, если она находится в состоянии равновесия, т.е. в этом случае касательные компоненты тензора равны нулю и действуют лишь нормальные p _xx, p_yy, p_zz,

ориентированные по внешним нормалям (см. рис. 2.5). При этом ясно, что они являются растягивающими напряжениями. Как показывает опыт, в отличие от твердого тела, которое может воспринимать как растягивающие (положительные нормальные напряжения), так и сжимающие (отрицательные нормальные напряжения) напряжения без разрыва сплошности, жидкое тело способно воспринимать лишь сжимающие усилия. Можно показать, что при отсутствии касательных напряжений p_xx = p_yy = p_zz, из чего

следует, что нормальные напряжения в данной точке не зависят от ориентации площадки. Величины, численно равные нормальным напряжениям, но взятые с противоположным знаком, в

гидромеханике называют давлениями, либо более полно -гидростатическими давлениями. Гидростатическое давление обозначают буквой p, т.е.

Р = ^- Pxx = ^- Pyy = ^- Pzz Таким образом, гидростатическое давление, являясь скалярной величиной (как компонента тензора) не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует.

Теоретическое изучение движения жидкости связано с так

w    w    n    ^w

называемой моделью идеальной жидкости. В этой модели жидкость рассматривается как абсолютно несжимаемая среда, неспособная сопротивляться разрывающим усилиям и обладающая абсолютной подвижностью, т.е. лишенная вязкости. Последнее исключает возникновение в ней касательных напряжений.

2.3.4. Уравнение движения в напряжениях.

Получим наиболее общее уравнение, связывающее поверхностные и массовые силы - так называемое уравнение движения в напряжениях. Для вывода уравнения проанализируем движение жидкой частицы, масса которой р dV и поверхность dS. Аналогично тому, как это было сделано для тетраэдра, можем записать уравнение движения в виде

pdLdV - pF dV + p _ndS    (2.11)

Для всего движущегося объема (V), поверхность которого S, имеем

pn = nxpx + nypy + n_zp_z

где n_x, n_y, n_z - направляющие косинусы.

Воспользуемся известными из векторного анализа и справедливыми для любых векторов формулами:

Я n.^R dS=!0 dV

Sⁿy^{R dS} -Ш% ^dV ¦    <²¹³>

dS - inf dV

S    V

Применяя эти формулы к тензору p_n, получаем:

+

dp

y + ^dp z

flp -» ¦ JJJ

dV

(2.14)

du r

^- P^{F -}

'y + ^dp

ffl

dV = 0

z

+

P

)

dt

dx    dy dz

v

V

Но так как dV Ф 0, а объем V выбран произвольно, то

.i    * г ^l zL    ni \

dpx . ^dp

du i 1

= F + —

'y + ^dp

z

(2.15)

+

dt

dx    dy dz

Р

v

Это и есть уравнение движения в напряжениях.

В проекциях на декартовы оси координат можем записать:

г

дт

dp

xx

zx

+

)

v dx ^f дт

Р

1

Р

1

\

дт

xy

zy

= Y +

(2.16)

+

dx

dy

дт

v

дт

= Z +

xz

zz

+

pV dx    dy    dz )

Эта система включает в качестве неизвестных девять величин: три проекции скорости и шесть проекций напряжений. Проекции единичных массовых сил, как правило, известны из постановки задачи.

du_x „    1

—^ = X + — dt

dUy

dt

^duz dt

dy    dz

yz + ^dP

dz )

Л

dp

дт

yy

yx

+

+

3. ГИДРОСТАТИКА.

Идите, идите вперед, уверенность прийдет к вам позже.

Д'Аламбер.

Гидростатика занимается изучением жидкости, находящейся в состоянии относительного покоя. Под относительным покоем понимают состояние, при котором отсутствуют перемещения частиц относительно друг друга.

В основу гидростатики положены две теоремы: равенство нулю суммы всех сил, приложенных к рассматриваемому элементу жидкости и, как следствие, равенство нулю суммы моментов этих сил относительно какой-то оси. Однако, несмотря на простоту принципов, гидростатика приводит к важным результатам и выводам.

3.1. Уравнение равновесия жидкости.

Уравнения равновесия жидкости могут быть получены из уравнений движения в напряжениях (2.16), если положить в них u_x = u_y = u_z = 0. Кроме того, как было показано, в покоящейся

жидкости касательные напряжения не проявляются, т.е. все производные по t равны нулю. И, наконец, нормальные напряжения заменяем давлением, что дает

X-_Р дР = 0;

p дх

Y--_д^р = 0;    (3.1)

Р ду    '    '

Z-_Р = 0

p dz

В векторной форме эта система может быть записана в форме

^r1

F -pgrad р = 0    (3.2)

Уравнения (3.1) носят название системы дифференциальных уравнений Эйлера для гидростатики. Эта система уравнений показывает, что существует непосредственная связь между величиной гидростатического давления в точке и ее координатами. Эта связь может быть раскрыта, если проинтегрировать (3.1).

На жидкое тело могут действовать силы, имеющие различную физическую природу. Поэтому правомерна такая постановка вопроса: всегда ли под действием приложенных сил жидкость может находиться в состоянии равновесия? Для ответа на этот вопрос необходимо выполнить некоторые преобразования системы дифференциальных уравнений (3.1).

3.2. Основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме.

Умножим каждое из уравнений, входящих в (3.1) на dx, dy и dz соответственно и просуммируем их, что даст

(Xdx + Ydy + Zdz)-¹ |^dp-dx +^dpdy + ^dpdz\ = 0    (3.3)

p\dx dy dz )

Выражение, стоящее в скобках во втором члене уравнения, есть не что иное, как полный дифференциал давления - dp, поэтому можем записать

dp = p( Xdx + Ydy + Zdz)    (3.4)

Это уравнение называют основным уравнением гидростатики в дифференциальной форме. В левой части его - полный

дифференциал, поэтому и правая часть также должна быть полным дифференциалом. Следовательно, силы и плотность должны быть такими функциями х, у и z, чтобы они обращали правую часть (3.4) в полный дифференциал. Если этого не происходит, то равновесие жидкости невозможно. Другими словами, если жидкость находится в состоянии равновесия, то правая часть (3.4) является полным дифференциалом какой-то функции Ф.

Считая плотность постоянной (p= const), можем записать

Xdx + Ydy + Zdz = dФ    (3.5)

Из теоретической механики известно, что скалярное произведение силы на элементарное перемещение частицы называют элементарной работой, т.е.

f_xdx + f_ydy + f_zdz    (3.6)

Силы, работа которых не зависит от пути движения, а только от начального и конечного положений, называют потенциальными. При этом для того, чтобы работа силы не зависела от пути движения, необходимо и достаточно, чтобы выражение для элементарной работы, т.е. (3.6), было полным дифференциалом некоторой скалярной функции P, называемой силовой. Взятая с противоположным знаком, она называется потенциалом. Таким образом, рассмотренную выше функцию можно назвать силовой функцией, а (3.4) представить как

dp = pdФ    (3.7)

Из чего следует, что несжимаемая жидкость может находиться в равновесии только под действием сил, имеющих потенциал.

3.3. Эквипотенциальные поверхности и поверхности равного давления.

Поверхности, в каждой точке которых Ф = const, называют эквипотенциальными. Частным случаем эквипотенциальной поверхности является поверхность равного давления, т.е. поверхность, в каждой точке которой р = const. В этом случае dp = 0 и (3.4) принимает вид

p(Xdx + Ydy + Zdz) = 0 Но плотность p^ 0, и, следовательно,

Xdx + Ydy + Zdz = 0    (3.8)

Уравнение (3.8) называют уравнением поверхности равного давления. Если из массовых сил на жидкость действует только сила тяжести, то X = Y = 0; Z = -g (знак минус, т.к. сила тяжести

ориентирована в сторону, противоположную оси z); - gdz = 0 и z = const, т.е. в покоящейся жидкости любая горизонтальная плоскость есть поверхность равного давления.

3.4. Равновесие однородной несжимаемой жидкости в поле сил тяжести. Закон Паскаля. Гидростатический закон распределения давления.

Проинтегрируем основное уравнение гидростатики (3.4) в предположении, что р— const (жидкость несжимаема) и считая, что из    массовых сил    действует только сила тяжести. Как показано    выше,

в этом случае    X    —    Y — О, Z —    -д, т.е. dp — -pgdz, и после

интегрирования

p — -pgz + C    (3.9)

Рис. 3.1

где C - произвольная постоянная. Для ее нахождения используем следующее граничное условие (см. рис. 3.1): при z — z₀ p — p_o. Из (3.9)

следует, что

^{C — p} О + ^pgzo

И после подстановки

p — po + pg(z> - z)    (3.10)

Как видно из рис. 3.1, разность    (z₀ - z)

- глубина погружения рассматриваемой частицы, которую будем обозначать буквой h, т.е.

p — po + pgh    (3.11)

Полученное уравнение выражает известный из курса физики закон Паскаля: давление, приложенное к свободной поверхности, передается во все точки без изменения.

Поскольку любое правильное физическое уравнение должно быть размерностно однородным, то ясно, что член pgh должен выражаться в единицах давления, т.е. в паскалях (Па - Н/м²). Эту величину называют избыточным давлением. Она может быть как положительной, так и отрицательной. Такая трактовка приводит нас к понятию абсолютного давления, которое в соответствии с (3.11) может быть представлено как сумма барометрического (атмосферного) давления и избыточного, т.е.

^pабс. ^{— p}ат. ± ^pизб.    ⁽³.¹²⁾

Отрицательное избыточное давление называют вакуумом.

Вернемся вновь к уравнению (3.10). После деления обеих его частей на pg получаем

pg

pg

В таком виде все его члены выражаются в единицах длины и носят название напоров. Величина z характеризует положение жидкой частицы над произвольно выбираемой горизонтальной плоскостью

^P

пьезометрический

отсчета, т.е. z - это геометрический напор;

рд

напор. Сумму этих величин z + Р- называют гидростатическим

^р—

напором. Чтобы уяснить физический смысл этих величин, рассмотрим простую схему, показанную на рис. 3.2.

Представим

Рис. 3.2

герметично закрытый сосуд, заполненный жидкостью, находящейся под давлением. Выберем в этом сосуде две произвольно

расположенные точки A и B и, опять-таки произвольно,

горизонтальную плоскость O-O, которую назовем плоскостью отсчета. Координаты частиц, расположенных в точках A и B будут z_A и

z_B. В соответствии со сказанным выше, величины z_A и z_B выражают геометрический напор. Введем теперь через крышку сосуда в точки A и B сообщенные с атмосферой стеклянные трубки. Эти трубки называют пьезометрами. Поскольку по условию жидкость находится под давлением, то она начнет подниматься по пьезометрам. Не представляет труда и ответ на вопрос о том, когда прекратится подъем. Очевидно, что это произойдет в тот момент, когда высота столба жидкости уравновесит давление в рассматриваемой точке. Это и есть пьезометрическая высота, либо пьезометрический напор.

Соотношение (3.13) справедливо для любых произвольно выбранных частиц покоящейся жидкости, поэтому в общем виде его

можно записать как z + ^— = const, т.е. для любых точек жидкости

р-

гидростатический напор одинаков. Следовательно, уровни в пьезометрах установятся на одной и той же высоте (плоскость C-C

на рис. 3.2). Уравнение (3.13) выражает так называемый гидростатический закон распределения давления.

3.5. Определение силы давления жидкости на поверхности тел.

Задача сводится к нахождению силы давления жидкости на поверхности стенок, ограничивающих ее.

Рассмотрим криволинейную поверхность АВ произвольной формы, площадь которой S (рис. 3.3). Выделим на ней элементарную площадку dS, пусть h - орт внешней нормали. Сила, действующая на эту площадку

dF = phdS

Рис. 3.3

где р - гидростатическое давление в центре площадки. Обычно в технических приложениях интерес представляет лишь сила, возникающая от избыточного давления. Имея в виду, что р = pgh, получаем

dF = pghhdS    (3.14)

На всю площадь действует сила

F = JJpghndS    (3.15)

Запишем это выражение в проекциях на оси координат, что дает

= pgjjh cos(h,x)dS    (3.16)

F_z = pg^hcos(h,z)dS

(3.17)

Для удобства изобразим отдельно элементарную площадку (см. рис. 3.4). рисунка следует, что

Из

dS • cos(/?,x) = dS_e

dScos(h,z) = dS₃ где dS_e - вертикальная, и dS_a -горизонтальная проекции dS. Таким образом

f — pgЯ^л ¦ d^ (s.¹⁸)

Fz — pgjjh • dS_s    (S.19)

S

Рис. S.4    Рассмотрим горизонтальную

составляющую.

Из механики известно, что интеграл (3.18) есть статический момент площади, равный произведению Л_{ц т} S_e, где h_{ц т}. -

координата центра тяжести вертикальной проекции.

Следовательно,

F_x ^{— pgh}ц т.^Se    ⁽³.2⁰⁾

т.е. горизонтальная составляющая равна произведению вертикальной проекции стенки на гидростатическое давление в центре тяжести этой проекции.

Определим теперь вертикальную составляющую силы, для чего воспользуемся следствием из формулы Гаусса-Остроградского (см. ф-лу 1.16)

jjpn dS — jjjgradpdV

S    V

I

Из уравнения равновесия (3.2) имеем pF — grad p, т.е.

j]J^{grad pdV —} j jjp^FdV

V    V

I    _

Вертикальная проекция единичной массовой силы F — Z — g (знак

плюс, т.к. в данном случае ось z ориентирована вниз). Следовательно,

^Fz ^— W\p^gdV — pg JjJdV — pgV    (S.21)

VV

V носит название объема тела давления. Таким образом, вертикальная составляющая равна весу жидкости, заключенному в

объеме тела давления. Для

нахождения этого объема следует использовать формальное правило: тело давления - это объем, образованный криволинейной стенкой, ее проекцией на свободную поверхность(либо на продолжение свободной поверхности) и вертикальными проектирующими плоскостями. На рис. 3.5 показаны примеры определения тел давлений для двух случаев.

Как следует из рисунка, тело давления может быть как Рис. 3.5    положительным, так и

отрицательным (фиктивным).

3.5.1. Плоская поверхность.

Этот случай можно рассматривать как частный предыдущего, но можно получить и более удобное соотношение. Действительно, общее выражение для силы давления имеет вид (3.15), но так как поверхность плоская, то ориентация нормали для всех ее точек остается одинаковой, и, сл едовательно,

F = р-n hцт S    (3.22)

I

Из формулы (3.22) следует, что F направлена по нормали к стенке, поэтому можно записать

F = Р-h ц т S    (3.23)

Следовательно, сила давления на плоскую поверхность равна произведению ее площади на гидростатическое давление в центре тяжести этой поверхности. Следует отметить, что задачи, связанные с определением сил давления на поверхности, играют исключительно важную роль в гидротехнической практике. Применительно к энергетике и машиностроению круг этих задач заметно сужается и ограничивается, главным образом, расчетом болтовых соединений люков различных резервуаров, находящихся под давлением.

4. КИНЕМАТИКА.

Приобретение любого познания всегда полезно для ума, ибо он сможет впоследствии отвергнуть бесполезное и сохранить хорошее. Ведь ни одну вещь нельзя ни любить, ни ненавидеть, если сначала ее не познать.

Леонардо да Винчи.

Кинематика занимается изучением движения жидкости, не интересуясь причинами, которые его вызвали. По образному выражению Н.Е.Жуковского, кинематика изучает «геометрию движения». Принципиально можно пойти двумя путями. По первому из них изучается движение каждой отдельной жидкой частицы. Чтобы выделить ее, в начальный момент времени t_o отмечаются ее координаты x_o, y_o и z_o. Движение считается определенным, если в каждый момент времени для каждой частицы известны уравнения, описывающие ее путь во времени, т.е. известны параметрические уравнения траекторий всех частиц. Этот путь предложен Лагранжем. По методу Эйлера изучается изменение скорости и других параметров в точках пространства x, y, z.

В настоящем пособии используется главным образом метод Эйлера. Для желающих глубже разобраться в этом вопросе можно рекомендовать книгу: Федяевский К.К., Войткунский, Фаддеев Ю.И. Гидромеханика. - М.: Судостроение, 1968. - 567 с.

4.1. Установившееся и неустановившееся движения

жидкости.

Установившемся (стационарным) называют движение, при котором основные параметры потока (скорость, давление, плотность) в данной точке пространства не изменяются с течением времени, т.е.

и = f (x, y, z); p = f (x, y, z); p= f (x, y, z)    (4.1)

Если это условие не соблюдается и параметры в точке меняются с

течением времени

и = f (x, y, z, t);

p = f (x, y, z, t);    (4.2)

p= f (x, y, z, t)

движение называют неустановившимся (нестационарным).

В этих формулировках следует обратить внимание на то, что

Рис. 4.1

речь идет о параметрах в точке. Чтобы уяснить это, рассмотрим канал, показанный на рис. 4.1. В гидромеханике такие каналы, в которых площадь сечения уменьшается по ходу потока, называют конфузорами. Исходя из чисто интуитивных представлений ясно, что скорость течения по ходу канала будет возрастать. Возникает вопрос, может ли быть установившемся движение в таком канале. Очевидно, может, если параметры в точках A и B не будут изменяться с течением времени. Определение вида движения не требует, чтобы параметры в точках А, В и С были одинаковы.

4.2. Уравнение неразрывности (сплошности).

Уравнение неразрывности либо сплошности выражает один из фундаментальных законов природы - закон сохранения массы

применительно к жидкой среде.

Рассмотрим объем V, ограниченный поверхностью S (рис.

4.2). Выделим элемент поверхности dS. Пусть n - орт внешней нормали, а и - вектор скорости. Через выделенный элемент dS в единицу времени внутрь объема проникает масса жидкости

-ри • ndS.

(знак минус, т.к. направления и и n противоположны). Секундная масса, проникающая в объем через всю поверхность,

- §Jpu • П dS.

S

С другой стороны, приток жидкости в объем приводит к изменению ее массы. При этом, поскольку выделенный объем является постоянным, то изменение массы может происходить только за счет изменения ее плотности. Скорость изменения массы можно представить как

dt ЯК

V

либо с учетом того, что V = const, можно записать

ШтГ-

V

Очевидно, что изменение массы внутри объема должно быть равно массе, поступившей в него извне, т.е.

ЯШ -Я'“dS

V    S

Применяя преобразование Гаусса-Остроградского, получим:

dp

Шм ⁼ ~ IfJ^{div (pu )dV}, ^лиео

dt

V    V

ш

— + div (p u) dt ^}

V ^L

Равенство нулю интеграла возможно лишь при условии

^д + div (p^ru) — 0.    (4.S)

Это и есть уравнение неразрывности. Поскольку при выводе его не делалось никаких ограничений, то оно справедливо как для установившегося, так и для неустановившегося движений сжимаемой и несжимаемой жидкости. Уравнение (4.3) относится к числу фундаментальных уравнений механики жидкости.

Рассмотрим некоторые частные случаи. При установившемся движении все производные по времени равны нулю, что следует из самого определения этого понятия, поэтому

Установим физический смысл этого соотношения. Частные

du_x dUy du_z производные , dy-,    характеризуют скорость

относительного удлинения (укорочения) жидкой частицы. Если этот процесс происходит одновременно вдоль всех координатных осей, то он приводит к объемному расширению либо сжатию частицы. Ясно, что если частица удлиняется вдоль осей x и у, то она должна укорачиваться относительно оси z. Другими словами, хотя бы одна из производных, входящих в (4.6), должна быть отрицательна, т.к. в противном случае соотношение не может быть равным нулю.

Как уже отмечалось в 1.1, поле, в котором div U — 0, носит название соленоидального.

dV — 0.

4.3. Линии тока и траектории.

Линией тока называется кривая, обладающая тем свойством, что в данный момент времени векторы скоростей в любой ее точке совпадают по направлению с касательными.

В векторной форме это условие может быть записано как и х dS = 0, т.е. векторное произведение должно быть равно нулю. Это, как известно (см. формулу 1.4), может быть записано в виде определителя

Раскрывая определитель, получаем дифференциальное уравнение линии тока в виде

dx dy dz

(4.8)

и,

и.

Под траекторией понимается след, оставленный движущейся частицей в пространстве. Дифференциальное уравнение траектории

^{dx dy dz} ~    (4.9)

= dt

и

и

и

x " y " z

Из сопоставления (4.8) и (4.9) следует, что в общем случае, т.е. при неустановившемся движении, линии тока и траектории не совпадают.

4.4. Трубка тока (поверхность тока)

В движущейся жидкости наметим бесконечно малый замкнутый контур, и через все точки его периметра проведем линии тока (рис.

4.3).

Рис. 4.3

Образованная таким образом поверхность носит название трубки либо поверхности тока. Ясно также, что поскольку контур намечался в пространстве, занятом движущейся жидкостью, то какая-то часть ее должна находиться и внутри

поверхности тока.

4.5. Струйная модель потока.

Струйная модель потока введена в рассмотрение Л.Эйлером. Основу этой модели составляет понятие о струйке (либо элементарной струйке), под которой понимают жидкость, протекающую внутри трубки тока. Если вспомнить, что границами боковой поверхности трубки тока являются линии тока, т.е. линии, к которым касателен вектор скорости частиц, которые в данный момент времени находятся в ней, то ясно, что ни одна частица не может проникнуть извне в струйку, либо, наоборот, выйти из нее через боковую поверхность. Действительно, вектор скорости частицы, пытающейся, например, проникнуть в струйку извне, должен быть ориентирован к ее границе под каким-то углом, а на самой границе - линии тока - касателен (рис. 4.4).

Из сказанного следует, что струйка ведет себя как трубка с непроницаемыми стенками.

Поперечное сечение струйки мало, поэтому можно допустить, что в пределах сечения все частицы движутся с Рис. 4.4    одинаковыми    скоростями

либо, что то же, эпюра скоростей в сечении представляет собой цилиндр для трехмерной струйки либо прямоугольник - для плоской (двумерной).

На рис. 4.4 показаны эпюры для двух произвольно выбранных сечений плоской струйки. Заметим лишь, что равномерность распределения скоростей в сечении, т.е. движение всех частиц, находящихся в нем, с одной и той же скоростью, вовсе не означает, что в другом сечении эти скорости должны быть такими же, т.е., не обязательно, чтобы tv₁ = и₂ (см. рис. 4.4).

Совокупность струек, заполняющих поперечное сечение канала конечных размеров, образует поток. Если представить, что соломинка для коктейля - это струйка, то пучок таких соломинок -поток.

4.6. Уравнение неразрывности для струйки.

Первое свойство струйки, говорящее о том, что боковая поверхность непроницаема для частиц, по существу выражает закон сохранения секундной массы. Действительно, если через сечение 1-1 в единицу времени вошла масса dm_v то за то же время через сечение 2-2 должна выйти масса dm₂, равная dm_v Массу жидкости, протекающую через поперечное сечение струйки в единицу времени называют элементарным массовым расходом и обозначают dQ_m.

Легко убедиться в том, что dQ_m = ри dA, где dA - площадь поперечного сечения струйки. Действительно, выражая параметры, входящие в это соотношение через единицы физических величин, получаем

кг м ₂ кг

— м² ^ —. м³ с    с

Из сказанного выше следует, что

p₁u ₁dA ₁ — p₂ u₂dA₂    (4.10)

Это и есть уравнение неразрывности для струйки. Если жидкость

несжимаема, т.е. p— const, то p₁ — p₂ и

u ₁dA ₁ — u ₂dA ₂    (4.11)

При этом произведение udA выражает элементарный объемный расход - dQ.

4.7. Ускорение жидкой частицы.

Запишем выражение для проекции ускорения жидкой частицы на какую-либо координатную ось, например, x. Имеем

_{я —} dux. ^ax    dt

Для нахождения этой величины следует учесть, что проекция

скорости u_x (как и две другие проекции) является функцией

координат x, у, z, которые, в свою очередь, в общем случае зависят

от времени t. Представим величину du_x в виде полного

дифференциала

. du_x    du_x . du_x . du_x .

du_x —^x dt + dx dy + dz

^x dt    dx    dy    dz

dx dy

Разделим обе части на dt. Имея в виду, что    — u_x,    — u_y и

— _— u —— dt    ^ux,dt

dz

dt ⁼ u_z, получим

du_x    du_x    du_x    du_{x    1Л}

^ax    + ^ux dx + ^uy d + ^uz d    ⁽⁴¹²⁾

Аналогичные соотношения можно записать и для двух других компонент.

Выражение (4.12) носит название полной либо субстанциональной производной. Установим смысл величин,

du_x

входящих в нее. Производная ^ ~ проекция локального ускорения,

которое характеризует изменение скорости во времени в данной точке пространства. Локальное ускорение обусловлено нестационарностью процесса. Из чего следует, что если движение стационарное (установившееся), то локальное ускорение

отсутствует, т.е. ^ = 0. Три остальных члена (4.12) - проекции

конвективного ускорения, которое возникает при переходе частицы от одной точки пространства к другой, оно обусловлено неравномерностью скоростного поля, т.е. неравномерным распределением скоростей.

4.8. Анализ движения жидкой частицы.

Движение жидкой частицы является более сложным, чем движение твердого тела, которое, как известно из механики, может быть поступательным и вращательным. Особенностью жидкости и ее частиц, как уже неоднократно отмечалось, является легкая деформируемость. Поэтому помимо поступательного и вращательного, жидкая частица может участвовать и в деформационном движении. Это положение и составляет суть так называемой первой теоремы Гельмгольца, к рассмотрению которой мы и приступаем. Оценивая значение работы Г.Гельмгольца, основоположник отечественной аэродинамики Н.Е.Жуковский писал, что «современная гидродинамика своим развитием обязана главным образом Гельмгольцу». Важнейшим достоинством приводимых ниже выкладок и рассуждений является то, что они раскрывают физический смысл и вносят ясность в ряд казалось бы совершенно абстрактных понятий. Выкладки эти достаточно просты, но требуют внимания. Поэтому нужно запастись определенной долей терпения и помнить, что достигаемое понимание сути явлений безусловно оправдает эти затраты труда.

Рассмотрим жидкую частицу в форме прямоугольного параллелепипеда (рис. 4.5). Длина его ребер dx, dy, dz. Деформация такой жидкой частицы может быть как линейной (ребра удлиняются и укорачиваются), так и угловой (грани скашиваются). Удобней рассмотреть каждый из этих видов раздельно. Начнем с

Рис. 4.5

угловых деформаций.

4.8.1. Угловые деформации.

Из рис. 4.5 следует, что угловая деформация (скашивание) может возникнуть из-за разности скоростей, перпендикулярных ребрам (частично этот вопрос уже обсуждался в разделе 2.2). Для

A B

D

A

dx

упрощения целесообразно ограничиться лишь одной гранью, показанной на рис. 4.6.

Пусть компоненты скорости в точке A равны u_X, u_y, u_z. Найдем скорости в точке

B, считая, что движение

установившееся и,

следовательно, все

производные по t равны нулю.

Приращение компоненты

скорости при переходе из одной точки пространства в другую можно

представить как u+du. Так для проекции u_X можем записать

Ux + duX, где

.    du_X .    du_X .

du_X =    dx + dy +

с

X

dX

du_X

dy

dz

(4.13)

+

dz

Аналогичные выражения можно записать и для других проекций.

Рис. 4.6    Рассмотрим приращение

u_X при переходе от точки A к точке B. В этом случае dX = dz = 0, т.е.

du_X .

+ ^^ dy

u_X = u_X + du_X = u_X

dy

'(A)

(B)

(A)

Предположим, что за время dt за счет разности скоростей в точках A и B ребро займет положение AB'.

Аналогично рассуждая относительно скорости u_y в точках A и

D получим:

Точка A: u_y (по условию)

du_v ,

ТОчк^{а D:    u}y₍ D) = ^uy₍ A) +dt^dX

За счет разности этих скоростей точка D займет позицию D'. Таким образом

du_X

dy

u_X - u_X    =

dy

dUy

dX

(A)

(B)

dX

^{U y}(D)    ^{U y}(A)

Путь, проходимый точкой B за время dt в положение B', определяет величину скашивания, которую можно найти как

BB' = dy- dy dt

Угловая деформация характеризуется тангенсом угла da. При

этом

, ч BB ди_х    .

tg(da) =-=    —- dt * da

AB    д y

(имея в виду, что AB = dy).

Вследствие малости угла da можно считать, что tg(da) * da.

Аналогично,

Полное скашивание первоначально прямого угла A определяется как сумма

(4.14)

Здесь следует обратить внимание на одно весьма существенное обстоятельство: рассматриваемое перемещение ребер вызвано не только деформацией, но и вращением частицы. Действительно, если бы грань только деформировалась без вращения, то ребра повернулись бы на одинаковый угол навстречу друг другу. Наоборот, если бы происходило только вращение, то ребра поворачивались бы на одинаковый угол в направлении вращения. Следовательно, в общем случае движение элемента можно рассматривать как сумму деформационного и вращательного движений, и таким образом определить da и dp. Рассмотрим

деформацию прямого угла A, считая, что вращение происходит против часовой стрелки. Чисто деформационное движение будем характеризовать углами dy, а чисто вращательное - ds.

^ykdy

Из рис. 4.7 следует, что

dp= dy+ ds либо da+ dp= 2 dy, откуда

Вычитая, получим Рис. 4.7

Таким образом, деформация характеризуется полусуммой углов, а вращение - полуразностью. Имея в виду (4.14), можем записать:

г

1

dy =

dt

(4.17)

J

du_v du.

dy    dx

+

Скорость угловой деформации, происходящей вокруг оси z

dY

dt

1

2

(4.18)

(4.19)

(4.20)

Yz

И по аналогии

Yy =

Yx =

V

J

dz    dx

du. + duy

du„ du_x +

du_v du. +

V dy    dx

dy    dz

J

о есть угловая скорость вращения жидкой

ds

dt

Выражение

частицы. Проекции угловых скоростей

о = —

оо = -

о = -

Соотношения (4.21-4.23) играют исключительно важную роль в механике жидкости. Они устанавливают связь между угловой и поступательной скоростями жидкой частицы. Вопрос о знаках чисто

(4.21)

(4.22)

(4.23)

w n    ^w

условный. В гидромеханике поворот против часовой стрелки считается положительным, по часовой - отрицательным.

В векторной форме выражение для угловой скорости может быть записано как

о = e_xo_x + e_yo_y + e_zo_z    (4.24)

Заменяя o_x, o_y и o_z их выражениями по (4.21-4.23) получаем:

г 1

о = — 2

ди_х    d U_z

dz дх

дх

ду

j

v

^Г ди_г    ди_у

v dy dz

(4.25)

Сопоставляя выражение в квадратных скобках с формулой (1.8) видим их полную идентичность, поэтому можем записать:

r 1    ,    r

о = 2 rot и

₂    (4.26)

либо

rot и = 2 о    (4.27)

Формула (4.27) раскрывает гидромеханический смысл вихря (ротора) векторного поля. Если и характеризует поле мгновенных скоростей, то векторное поле rot и представляет собой поле удвоенных угловых скоростей частиц жидкости этого поля.

4.8.2. Линейные деформации.

Очевидно, что линейные

с

о

Г

dy

dx

z-

Ю"

о

A

D

х

дх-ах

дх

Рис. 4.8

(A)

деформации частицы (рис. 4.8) могут возникнуть в результате различия в скоростях, совпадающих с направлением ребер. Как и ранее, компоненты скорости в точке A - и_х, и_у, и

Вдоль оси х :

Точка A: и

'(A)

Точка D: и_х = и_х +

М D)

Разность скоростей,

вызывающая удлинение ребра AD: DD" за время dt

дих

дх

dx. Удлинение частицы

ди_х дх

dt = ds^х

_дх    ^х

^х dt

(4.28)

(4.29)

Относительное удлинение

DD" AD

DD" =

Скорость относительного удлинения

ds_x = дих dt    дх

(4.30)

Аналогично для других осей

du_z

du

y

^y    dy ’ ^z    dz

Если процесс происходит одновременно вдоль всех осей, то это приводит к объемному расширению либо сжатию частицы. Таким образом, объемная деформация сводится к изменению первоначального объема параллелепипеда dV = dx dy dz на величину SV = SV_x + SV_y + SV_z за счет растяжения либо сжатия ребер. При этом SV_x = DD" dydz, и с учетом (4.28)

duy

du

du_z

dz

^x dVdt. Аналогично SV_y = dVdt и SV_z =

^y    dy    ^z

SVx = _Л ^x    dx

Таким образом

dVdt.

du_v du_v du..

S V =

dVdt

+

+

dx    dy    dz

Скоростью относительной объемной деформации назовем отношение изменения объема к его первоначальному объему и скорости деформации, т.е.

V

du_x    du.

SV

du_z    r

^z = div u

+

+

d_rV dt dx dy dz Если div U = 0, то это означает, что SV = 0, т.е. деформация жидкой частицы происходит без изменения ее объема. В этом и заключается гидромеханический смысл равенства нулю дивергенции.

Полученную выше связь между поступательной и вращательной скоростями жидкой частицы можно получить и более коротким путем, представляющим определенный интерес. Разные подходы к одному и тому же вопросу способствуют углубленному пониманию. Поэтому рассмотрим этот путь.

Пусть жидкая частица вращается вокруг оси z с угловой скоростью (O_z. Запишем выражение для ротора в проекциях на оси координат (см. формулу 1.8). Имеем:

rot_xU =

rot_yu =

rot_zu =

rot_zU = ₀

^z    дх

Аналогично для двух дру гих компонент

rot_Xu = 2о_х; rot_yU = 2о_у

Либо в векторной форме

r 1 r о = 2 rot и

что полностью совпадает с (4.26).

Движение, при котором rot U Ф 0 называют вихревым, при rot U = 0 - безвихревым либо потенциальным. Из чего следует, что если течение вихревое, то движение жидких частиц происходит с вращением.

Рассмотрим точку M на жидкой частице (рис. 4.10).

Линейная скорость этой частицы и = 0_z х r. Запишем выражения для проекций скоростей на оси координат:

^их = ^— °z^y; и, = OzX;

u_z = 0

ди,

Откуда находим -д-

Таким образом r    ди

5. ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ

Вихревое движение широко распространено как в природе, так и в разного рода технических устройствах. Поэтому изучение его закономерностей представляет несомненный практический интерес. Вращательное движение жидких частиц характеризуется вихрем скорости

r 1 r о = 2 rot и

Это означает, что в каждой точке пространства вращение жидких частиц может быть охарактеризовано этим вектором. Его модуль

о = ^ о + о²_у + о\    (5.2)

Движение, при котором величина вихря скорости не равна нулю, т.е. rot U ф 0, называют вихревым. При условии rot U = 0 движение безвихревое либо потенциальное.

дих

ду

о

- Оо

z

дих    _{2 О}

— = 2 o_z ду ^z

(5.1)

5.1. Кинематика вихревого движения.

Кинематические понятия для вихревого движения можно получить по аналогии с общими понятиями кинематики. В основу кинематики вихревого движения положено представление о вихревой линии, которое аналогично понятию линии тока. Вихревой называется линия, в каждой точке которой в данный момент времени вектор вихря скорости совпадает с касательной (рис. 5.1). Другими словами, вихревая линия - это мгновенная ось вращения частиц жидкости, которые в данный момент времени расположены на ней.

По аналогии с дифференциальным уравнением линии тока можно записать

dx _ dy _ dz

(5.3)

СО_х    (Dy CO_z

Вихревая трубка - аналог трубки (поверхности) тока. Это поверхность, образованная вихревыми линиями, проведенными через все точки бесконечно малого замкнутого контура. Вихревая нить - аналог струйки - это жидкость, заключенная в вихревой трубке. Если вихревая трубка имеет конечные размеры, то частицы, заполняющие ее и находящиеся во вращательном движении, образуют вихревой шнур.

5.2. Интенсивность вихря.

Понятие интенсивности вихря достаточно абстрактно и вводится чисто математически. Напомним, что потоком векторного поля называют интеграл вида

№

и hdA    (5.4)

А

Поскольку вихрь скорости (ротор) есть вектор, то вместо и можно подставить rot й, что и приводит нас к понятию интенсивности вихря, т.е. интенсивность вихря - это поток вектора вихря

/'= ffrot и hdA    (5.5)

Рис. 5.1    JJ

А

Можно использовать и другую форму записи: rot и • h = rot _п й]

i = jJrot_n?f dA    (5.6)

A

Имея в виду, что rot й = 2 'со, можем записать

A    A

Воспользуемся формулой Гаусса-Остроградского и перейдем от интеграла по поверхности к интегралу по объему. Имеем:

®dV = 2

+

\

d®_y    d®

л

i = 2

®_ndA = 2

dV.

+

J

_v    dx    dy    dz

A    V    V    ⁷

Раскроем выражение, стоящее    под    знаком    интеграла,    имея в виду,

что проекции вектора вихря имеют    вид:

® = —

= -

->2

du

Имеем

1 2

f _п2 d U..

->2

d u,

->2

du

->2

du

->2

du

= 0.

+

+

dy dx    dx dz    dz dy dx dy

Следовательно, можно записать

JJ®ndA = 0    (5.8)

A

Заметим, что это выражение по структуре напоминает уравнение неразрывности.

dx dz    dy dz

j

¦    Применим    (5.8)    к вихревому шнуру

(рис. 5.2). На боковой поверхности со_п = О, так как 'со направлен по касательной к поверхности. Поэтому можем записать

^-    +    jjo)_n2dA₂ = 0;

^А1 ^А2

^А-\ ^А2 Если допустить, что в пределах сечения со_п = const, то

⁼ ^n2^2    (5-9)

Либо в общем случае

соА = const    (5.10)

т.е. это своеобразное «уравнение неразрывности». Полученный результат носит название теоремы Гельмгольца о Рис. 5.2    вихрях,    которую    можно    сформулировать

следующим образом: интенсивность вихревого шнура на всей его протяженности остается постоянной. Из выражения (5.10) следует и другой весьма важный вывод, сделанный Г.Гельмгольцем в 1855 г. в работе «Об интегралах уравнений, соответствующих вихревым движениям».Так как произведение соА остается неизменным, то уменьшение площади сечения шнура должно приводить к увеличению угловой скорости вращения частиц. При А = 0 со - оо, что физически невозможно. Следовательно, вихрь не может зарождаться либо оканчиваться в толще жидкости. Окончательно развившись, он должен замкнуться либо на твердую поверхность, либо сам на себя, т.е. образовать вихревое кольцо. Подробное описание этого явления можно найти в книге: Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. - М.: Наука, 1964. - 814 с.

Понятие об интенсивности является весьма важным, но, к сожалению, непосредственное определение этой величины экспериментальным путем связано с непреодолимыми трудностями. Кроме того, если пытаться распространить это понятие на вихри конечных размеров, то по аналогии со средней скоростью пришлось бы вводить понятие о средней угловой скорости, что связано с определенными трудностями чисто математического характера. Поэтому гидромеханика избрала другой путь, заменив это понятие другим, более удобным для целей практики. К рассмотрению этого понятия, называемого циркуляцией скорости, мы и приступим.

5.3. Циркуляция скорости.

Для введения понятия о циркуляции скорости в настоящем пособии используется методика Н.Я.Фабриканта, приведенная в упомянутой выше книге. Несомненным преимуществом ее является то, что в отличие от других она позволяет ввести понятие циркуляции не чисто математически, а исходя из достаточно простых и ясных физических предпосылок.

Рассмотрим крыловой профиль, находящийся в потоке газа (воздуха). Как известно, на профиль в этом случае будет действовать подъемная сила (см. рис. 5.3). Физически наличие этой силы можно объяснить лишь тем, _ что давление под профилем (р^

Рис. 5.3    больше, а давление над

профилем (р₂) меньше, чем давление на каком-то удалении от него, которое мы обозначим р_х. Это позволяет утверждать, что под крыловым профилем скорость и| < и_ж, а над ним и₂ > и_ж. В данном случае и_ж - скорость невозмущенного потока.

Вычтем теперь из скоростей и\и и₂ скорость и_ж, т.е. и\ - и_ж и и₂- и о,,. Это действие приводит нас к понятию потока возмущения, т.е. движения, которое возникает в среде из-за того, что в нее внесено инородное тело, т.е., по существу, это реакция потока, обусловленная в рассматриваемом случае тем, что в ней появился крыловой профиль. Установим теперь направление потоков возмущения. Под профилем и\ < и_ж, и он направлен против скорости и₀о, над профилем - наоборот. В результате появляется циркуляционный поток, направленный по часовой стрелке, как это показано на рис. 5.3. Теперь необходимо охарактеризовать этот поток количественно. Именно с этой целью вводится понятие циркуляции скорости по замкнутому контуру.

Рассмотрим замкнутый контур С, показанный на рис. 5.4. Пусть в произвольной точке М скорость равна и. Составим скалярное произведение и • dl, где dl - направленный элемент дуги.

Циркуляцией скорости называют контурный интеграл вида

Г = d u • dl

(5.11)

= j^u

Обратим внимание на структуру этого соотношения. Оно построено аналогично выражению для работы, поэтому иногда говорят, что циркуляция - это своеобразная «работа» вектора скорости.

Имея в виду, что u(u_x u_yu_z) и

dl (dx, dy, dz), по правилу скалярного произведения получим

Г = u_xdx + u_ydy + u_zdz) (5.12)

Для плоского течения:

Г = <f( u_xdx + uydy)

(5.13)

В конце предыдущего раздела утверждалось, что понятие циркуляции является более удобным, чем интенсивность вихря. Действительно, из (5.13) следует, что для определения циркуляции достаточно знать проекции скорости, нахождение которых не связано с существенными трудностями. Однако остается пока открытым вопрос о том, существует ли связь между циркуляцией и интенсивностью вихря. Ответ на него дает теорема Стокса.

5.4. Теорема Стокса.

В движущейся жидкости рассматриваем вихревое поле и выделяем в нем малый замкнутый контур со сторонами dx и dy (рис.

5.5). Пусть в начале координат скорости будут u_x и u_y. Запишем

выражение для элементарной циркуляции по этому контуру, имея в виду, что поток двумерный: d Г = u_xdx + u_ydy.

Рассмотрим контур OABC. Если вдоль OA скорость u_x, то вдоль CB ее приращение составит

dux

~ ay, и аналогично dy

Риг. Я Я

du_v .

вдоль AB - ~dx dx . Это следует из выражения для полного

дифференциала скорости, например, du_x = ^dux dx + ^dux dy.

dx dy

Запишем теперь выражение для элементарной циркуляции вдоль контура OABCO. Имеем:

г

du

^y

dr = u„dx +

dx

dy -

uy +“_Л

^y dx

ux +

V

^du^ dy] dx - u_ydy dy ^yJ    ^y '

Раскрывая скобки и выполнив сокращения, получаем

dx dy = 2®_zdA

dr =

dx    dy

Из чего следует, что циркуляция по бесконечно малому замкнутому контуру равна интенсивности вихря, пронизывающего этот контур.

Этот вывод легко обобщить и на случай произвольной кривой конечных размеров (см., например, Аржаников Н.С. и Мальцев В.Н. Аэродинамика. - М.: Оборонгиз, 1956 - 483 с.; упомянутую выше книгу Н.Я.Фабриканта).

Таким образом, можем записать:

Г = 2 jJ^dA = i

(5.14)

A

Это и есть формула Стокса, показывающая, что циркуляция по произвольному контуру равна сумме интенсивностей (напряжений) вихрей, пронизывающих поверхность, натянутую на контур.

6. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ

Как уже отмечалось, условием потенциаль ности движения является равенство нулю вихря скорости, т.е. rot и = 0. Физически это означает, что движение жидкости происходит без вращения частиц. Как будет показано, потенциальное движение играет исключительно важную роль в механике жидкости.

6.1. Потенциал скорости.

Сущность теоремы Стокса, по существу, сводится к утверждению о равенстве числовых значений интенсивности вихря и циркуляции, т.е. i = Г, либо

я-

rot U • n dA = Г

i =

A

С другой стороны, для потенциального потока по его определению rot U = 0, т.е. в потенциальном поле циркуляция по замкнутому контуру равна нулю.

Запишем выражения для проекций угловых скоростей.

Из сказанного выше следует, что для безвихревого (потенци

0. Следовательно, в этом случае

ального) движения ю_х =

du_z    du

ю,

du_z dUy ди_х

dy dz ’ dz dx ’ dx dy Эти соотношения позволяют существенным образом упростить вычисления компонент скорости и_х, и_у и u_z.

Рассмотрим выражение

u_xdx + и _ydy + u_zdz    (а)

Оно построено аналогично известному из механики твердого тела выражению для элементарной работы. Зададимся вопросом, в каком случае (а) является полным дифференциалом. Напомним, что если выражение для работы является полным дифференциалом, то силы называются консервативными или имеющими потенциал. Ответ на

^ = —

ю

ю, = —

dUx

(6.1)

у.

поставленный вопрос был дан Алесисом Клодом Клеро (с жизнью и деятельностью этого удивительного ученого можно познакомиться по превосходной книге: Идельсон Н.И. Этюды по истории небесной механики. - М.: Наука, 1975. - 494 с.)

Клеро показал, что выражение типа (а) является полным дифференциалом, если обеспечивается равенство накрест взятых производных. Соотношения (6.1) как раз и удовлетворяют этому требованию, т.е. взятые накрест производные в (а) дают соотношения (6.1). Таким образом, при потенциальном движении выражение (а) является полным дифференциалом какой-то функции p, и

По предложению Гельмгольца функцию p называют потенциалом скорости.

Таким образом, всякому движению жидкости, происходящему без вращения частиц, соответствует свой потенциал скорости. Справедливо и обратное утверждение: если существует потенциал скорости, то движение происходит без вращения частиц.

Соотношения (6.4) можно получить и другим путем. Поскольку разные подходы к одному и тому же вопросу способствуют углубленному его пониманию, то получим эти же соотношения, используя другую методику.

Как уже отмечалось, условием потенциальности является rot u = 0. С другой стороны, как показано при рассмотрении операций второго порядка, операция ротора над градиентом какой-то скалярной функции тождественно равна нулю, т.е.

rot grad p = 0 Сопоставляя эти соотношения, можем записать

u = grad p    (6.5)

Это означает, что вектор скорости можно рассматривать как градиент какой-то скалярной функции p. Раскроем значения u и grad p. Имеем    _rrrr

u = exux + eyuy + eju_z;

т.е. вновь приходим к соотношениям (6.4).

Пока что остается открытым вопрос о необходимости и целесообразности введения понятия о потенциале скорости. Чтобы разобраться в этом, следует иметь в виду, что к числу центральных задач гидромеханики относится определение сил, действующих на тела, обтекаемые потоками жидкости либо газа. Решение этих задач непосредственно связано с необходимостью расчета поля скоростей, т.е. определением проекций скоростей (и_х, и_у, и₇) в каждой его точке.

Из выражений (6.4) непосредственно следует, что все три компоненты скорости могут быть определены, если известна лишь одна величина - потенциал скорости. Таким образом, знание потенциала скорости существенно упрощает расчет поля. Однако немедленно возникает следующая проблема - как же найти потенциал скорости течения. Чтобы решить ее, необходимо прежде всего уяснить некоторые свойства, присущие потенциалу.

6.2. Уравнение Лапласа.

Операция дивергенции над градиентом скалярной функции приводит к оператору Лапласа. Если в качестве скалярной функции использовать потенциал скорости, то можно записать

..    .    ^2    д²ф    д²ф    д²ф

Выражения (6.7) и (6.8) носят название уравнения Лапласа. Таким образом, для нахождения потенциала скорости необходимо проинтегрировать уравнение Лапласа. Любая функция, удовлетворяющая этому уравнению, носит название гармонической. Следовательно, потенциал скорости является гармонической функцией. Как любое дифференциальное уравнение, уравнение Лапласа имеет бесчисленное множество решений, поэтому для того, чтобы однозначно определить потенциал скорости, необходимо задать граничные условия. Для задач, связанных с обтеканием тел, так называемых внешних задач гидромеханики, такими условиями являются u_n = 0 и

u = u_x.

Первое условие характеризует безотрывность течения (равенство нулю нормальной компоненты скорости). Второе - показывает, что вдали от тела распределение скоростей известно.

Поверхности (либо линии для двумерных потоков), в каждой точке которых p = const, называются эквипотенциальными.

6.3. Циркуляция скорости в потенциальном поле.

Рассмотрим плоский (двумерный) поток. Выделим в нем произвольную кривую (рис. 6.1) и запишем выражение для циркуляции вдоль этой кривой

B    B    B

г = Ju_xdx + uydy =fdpdx + y-dy = Jdp = pa -pb (69)

A    A

A

т.е. циркуляция вдоль кривой не зависит от ее формы, а определяется лишь разностью потенциалов в ее конечных точках. Если кривая замкнута, то очевидно, что p_B = p_A и Г = 0, т.е. циркуляция по замкнутому контуру в потенциальном поле равна нулю.

B

6.4. Функция тока плоского течения.

В практических задачах гидромеханики двумерных потоков широчайшее применение находит понятие о функции тока. Рассмотрим двумерный поток и ограничимся несжимаемой жидкостью.

Как было показано, дифференциальное уравнение линии тока имеет вид

dx dy

u,

либо

u_xdy - u_ydx = 0    (6.10)

Запишем уравнение неразрывности для этого случая, которое будет иметь вид

du d u_y

+-L = 0

dx    dy

Аналогично тому, как это делалось при рассмотрении потенциала скорости, поставим вопрос об условиях необходимых и достаточных для того, чтобы выражение (6.10) являлось полным дифференциалом какой-то скалярной функции. Применим к (6.10) условия Клеро (равенство взятых накрест производных). Имеем:

du

y

= 0.

и

d u_v du.

+

dx    dy    dx    dy

Но это есть не что иное, как уравнение неразрывности (6.11) для плоского потока, которое удовлетворяется всегда, если только движение существует. Следовательно, можно записать:

dy = u_xdy - u_ydx    (6.12)

где у носит название функции тока. С другой стороны, поскольку, как показано выше, dy является полным дифференциалом, то можно записать:

(6.13)

^ux =

^uy =

Из чего следует, что если функция тока течения известна, то можно определить компоненты скорости в любой точке пространства. Сопоставляя (6.10) и (6.12) приходим к выводу, что если частица движется вдоль линии тока, то функция тока остается постоянной (при у= const, dy = 0 и (6.12) превращается в (6.10)). Проверим теперь, является ли функция тока гармонической функцией, т.е. удовлетворяет ли она уравнению Лапласа.

Для плоского потенциального течения ю_г = 0, но

г

duy du.

dy

dy

= 0, откуда

Из (6.14) u_x

ю = -

V dx dy dx

dy

dx

dy

и uy =

следовательно

^rdyу

d

dx

dy dx _y

d

откуда

дх ду

Таким образом, функция тока, как и потенциал скорости, является гармонической функцией. И еще одно важное обстоятельство. Если потенциал скорости существует только в потенциальном потоке, то функция тока этим условием не ограничена. Это объясняется тем, что уравнение неразрывности, которое используется для получения этого понятия, справедливо как для вихревого, так и для безвихревого движений.

6.5. Гидромеханический смысл функции тока.

Рис. 6.2

Установим гидромеханический смысл функции тока, для чего проведем две достаточно близко расположенные линии тока (рис. 6.2). Вычислим объемный расход жидкости, протекающий между ними, для чего разложим вектор скорости частицы и на две составляющие и_х и и_у, что позволит

представить расход как сумму dQ = dQ_x + dQ_y, при этом

dQ_x = u_xdy и dQ_v = -u_vdx

(рис. 6.2).

dQ = u_xdy

Uydx

в

в

Q = [(uxdy - u_ydx) = (dty = _Vb-_Va    (6.15)

A    A

т.е. разность значений функций тока на двух смежных линиях тока равна объемному расходу между ними.

6.6. Связь потенциала скорости и функции тока.

Связь между этими параметрами может быть легко установлена, если записать полученные выше выражения для проекций скоростей

д(р _ _fj    д(р

и_у =

и_х =

ду

дх

откуда

д(р _ дц/ _ д(р _ дц/

дх ду ’ ду дх

(6.16)

Эти соотношения играют чрезвычайно важную роль в механике жидкости и носят название соотношений Коши-Римана. Более подробно они будут

рассмотрены ниже. Пока же ограничимся тем, что перемножим их. Это дает

дф_д<р_ ₌ _дщ_ду_

дх ду ду дх

Из математики известно, что выражения типа (6.17) свидетельствуют о взаимной ортогональности кривых. Следовательно, линии тока и эквипотенциальные линии образуют сетку взаимно ортогональных кривых, которая носит название гидродинамической сетки движения. Примерный ее вид показан на рис. 6.3.

Рис. 6.3

6.7. Методы расчета потенциальных потоков.

Как уже отмечалось, для нахождения потенциала скорости необходимо проинтегрировать уравнение Лапласа при заданных граничных условиях. Задача эта достаточно сложна. Поэтому в теории потенциальных течений особый интерес представляют случаи, которые дают точные значения функций тока и потенциала скорости без интегрирования уравнения Лапласа. Общая идея такого подхода сводится к следующему: задаются какой-то функцией, которая заведомо удовлетворяет уравнению Лапласа и выясняют, что представляет собой гидродинамическая сетка движения. Эту методику рассмотрим на ряде простейших примеров.

Пример 6.1. Пусть выражение для потенциала скорости имеет вид (р = ах + by, где а и Ь - действительные числа.

Найдем компоненты скорости. Имеем

= а и и у =

Вторые производные равны нулю, т.е. уравнение Лапласа удовлетворяется. Так как u_x = а и u_y = b, то из этого следует, что

поток движется с постоянной скоростью

=4ат+ь

2 2

^их + ^иу

и =

Выясним, что представляют собой линии тока. Дифференциальное уравнение линий тока

dy = u_xdy - u_ydx = ady - bdx.

И после интегрирования

у = ay - bx    (6.18)

Приравнивая (6.18) какой-то постоянной, получаем семейство линий тока - параллельных прямых, наклоненных к оси под углом _b

tg а = — (см. рис. 6.4). Действи-a

тельно, для линии тока можем записать:

dx = dy_; dy =    =    Ь

и_х~ u_y ’ dx ~ и_х~ a'

Пример 6.2. Потенциал скорости задан выражнием

(р = a (x² - y²)

где a - действительное число. Необходимо найти линии тока этого течения.

Прежде всего проверим, удовлетворяет ли руравнению Лап

d²p

d²p dy²

dp

dy

ласа. Имеем    = 2ax

= -2ay;

= 2a:

= -2a

2

dx

dx

d²p

d²p

+

dx    dy

т.е. уравнение Лапласа удовлетворяется. Выясним, какое же движение описывается этой функцией, для чего установим вид функции тока.

dy= u_xdy - u_ydx = 2ax dy + 2aydx =

= 2a(xdy + ydx) = 2a d (xy)

= 2a - 2a = 0,

Следовательно, ц/ = \2ad(xy) = 2 ах у (произвольная постоянная

в данном случае нас не интересует).

Для нахождения линии тока приравняем ц/ какой-то постоянной величине 2ах у = const либо ху = const. Следовательно, линии тока - гиперболы, для которых оси х и у - асимптоты. На рис. 6.5 показаны линии тока для верхней половины. Если считать, что оси ко-1нат являются твердыми стен-, то получим картину обтекания потоком прямого угла.

Существует ряд простейших течений, для которых потенциалы скорости могут быть получены аналитическим путем. Эти течения играют заметную роль в гидромеханике, и поэтому их рассмотрение представляет несомненный интерес.

Пример 6.3. Источник (сток) на плоскости. Ограничимся плоской задачей. Интересующиеся объемной (трехмерной) задачей могут найти ее в книге: Талиев В.Н. Аэродинамика вентиляции. - М.:

Изд. по строительству и архитектуре, 1954. - 287 с.

Под источником (стоком) на плоскости понимают точку, из которой происходит истечение (либо втекание) жидкости. Пусть точка О на рис. 6.6 представляет плоский источник, из которого, как из цен-

тра, проведем несколько концентрических окружностей. Запишем уравнение неразрывности для цилинд-

Рис. 6.6

В декартовой системе координат

(6.19)

В рассматриваемом случае удобней использовать цилиндрическую систему координат. Увязка систем может быть получена, исходя из рис. 6.7. Для цилиндрической системы

1 dp dp ^u° = ¹ д^{; u}r = д ⁽⁶²¹⁾

Рис. 6.7

Вывод этих соотношений можно найти в книге: Аржаников Н.С., Мальцев В.Н. Аэродинамика. -М.: Оборонгиз, 1956. - 483 с. Из (6.21) следует, что u_r не зависит от полярного угла, поэтому можно за-dp

Приравнивая это

писать u_r = —j—. ^r dr

выражение (6.19), получим

Q = dp

Q dr

dF, ^{откуда dp}= 2n r И после интегрирования

2nr

Q_

2n

ln r

p=

(6.22)

Из (6.22) следует, что эквипотенциальные линии источника представляют собой окружности. Формулу (6.22) можно записать и в следующей форме

p = 2nln -\/x² + y²    (6.23)

Для нахождения функции тока удобней использовать декарто ву систему координат. При этом (6.19) принимает вид:

Q 1

(6.24)

ur =

2nJ x ² + y²

С другой стороны, из рис. 6.7 следует:

u_x = u_r cosO = u_r x/r

Таким образом

ux =

Аналогично

Дифференциальное уравнение функции тока

dy= u_xdy - u_ydx

Подстановка значений u_x и u_y в (6.25) дает

Q xdy - ydx

dy =

x² + y²

2п

f l'

v x

^Ау^Л

V x

x

т.е. xdy - ydx = x d Из знаменателя (6.26) выносим за скобки x², при этом

Выполним некоторые преобразования. Дифференциал от ча-

xdy - ydx    .    .    2

стного имеет вид d

2 2 2 x + у = x

Таким образом, (6.26) принимает вид

d

Q

2п

dy =

f L_²

1 +

V x J

f L'

v x

d

y)

V x J

Q

2п

Q_

2n

/¦

arctg

и y

f L'²

V x

1 +

Но с другой стороны — = tg 9, т.е. arctg(tg9) = 9, и

x

Q_

2n

9

(6.27)

y

В полярной системе координат (6.27) представляет собой семейство прямых, проходящих через начало координат. Для стока потенциал скорости и функция тока имеют те же выражения, но с противоположными знаками, т.е.

Q

Q

ln r и y =

9

(6.28)

р =

2п    ^г    ~    2п

Иногда Q называют мощностью (обильностью) источника.

6.8. Наложение потенциальных потоков.

Предположим, что имеются два потока с известными потенциалами скорости (р₁ и (р₂, удовлетворяющими уравнению Лапласа. Из теории линейных дифференциальных уравнений, к которым принадлежит и уравнение Лапласа, известно, что сумма частных решений этих уравнений также является их решением. Другими словами, это означает, что потенциал р, образованный как (р₁ + р₂, также бу-

дет удовлетворять уравнению Лапласа, т.е. будет описывать какой-то новый поток, имеющий потенциал (р. Из этого следует, что можно получить новый поток путем сложения (наложения) уже известных. Следует обратить внимание на то, что собственно наложение потоков здесь не производится, а речь идет о сложении потенциалов скорости уже известных течений.

Скорость в каждой точке нового потока является суммой скоростей первоначальных потоков. Задача нахождения нового течения может быть решена как графически, так и аналитически.

Рассмотрим сначала графический метод. Общий подход сводится к следующему. Необходимо построить линии тока течений в одинаковом масштабе, что при достаточной густоте линий тока при пересечении дает фигуру, близкую к параллелограмму (рис. 6.8).

Рис. 6.8

Отрезки АВ и AD в каком-то масштабе представляют скорости течения, их результирующая определяется как диагональ параллелограмма (АС). Для построения такой сетки необходимо соблюсти следующее условие: расход между соседними линиями тока обоих течений должен быть одинаков.

В качестве примера рассмотрим картину течения, образующуюся при наложении плоско-го параллельного потока на сток (рис. 6.9). Как следует из рис. 6.9, частицы жидкости в новом течении будут двигаться по кривым, направленным к стоку.

Задача, как отмечалось выше, может быть решена и аналитически. В этом случае должны быть известны (р и у/ обоих течений.

Пример 6.4. Выполним сложение источника и стока с одинаковыми расходами, симметрично расположенными относительно начала координат на расстоянии а (см. рис. 6.10).

Потенциалы скорости:

Q

источника (р_и -

Рис. 6.9

(Рс =

In r_u ; стока

271

Q .

¦f- In r_c.

Z.71

Выбираем произвольную точку М с координатами х и у. Потенциал скорости в этой точке <р = <р_и + <р_с, т.е.

Q    Q

<Р

(In г_и - In г_с) = — In

2п    ^с)    2    71    г„

Выполним некоторые преобразования этого соотношения. Из треугольников МИх и МСх получаем:

^г„ =    +    (х²    +    а²)

1у² + (х² - а²)

=

Следовательно, потенциал скорости нового течения

Q

2 71

\

In

(6.29)

<Р

Существенно больший интерес представляет функция тока.

Как было показано, щ_и = -Q- 6_и и ц/_с- -$-6_с.

?.7t    ?.7t

Аналогично предыдущему

Q /    \

?=?u + ?c = jz\8u ~ 0о)

С другой стороны, из рис. 6.10 следует, что в_с = 6+ в_и, откуда 9_и~ 9_С = т.е. у/= -S-в. При этом условию у/= const (т.е. ли-

^ JL

нии тока) соответствует в - const. Таким образом, линии тока нового течения представляют собой окружности, проходящие через источник и сток.

Рассмотрим теперь картину, образующуюся при сближении источника и стока.

Пример 6.5. Забегая несколько вперед отметим, что получаемое при сближении источника и стока течение называется диполем.

В чем особенность рассматриваемой задачи? Если просто предположить, что расстояние a = 0, то r_u = r_c, и p и / тождественно равны нулю. Поэтому рассмотрим другой предельный случай. Пусть при 2а ^ 0 расход Q ^ да, но так, что произведение 2а • Q =

= const = M, где M носит название момента диполя. Таким образом,

Q = M    (6.30)

При этом потенциал скорости диполя

_M Injy + (x² + а²) - InJy² + (x² - а²)

M^In д|

p_d = — lim ^v

Разберемся теперь в том, что представляет собой выражение, стоящее под знаком предела. Знаменатель можно рассматривать как приращение независимого переменного, а числитель - как соответствующее приращение функции. Действительно, рассмотрим функцию

In д/y² + x² . Придадим x значение x + a и x - a. Если теперь из значения функции, соответствующей x + a, вычесть ее значение при x-a, то получим числитель. Разность значений независимого переменного (x + a) - (x - a) = 2a есть знаменатель. Таким образом,

мы должны вычислить предел отношения приращения функции к приращению независимого переменного при стремлении последнего к нулю. Как известно, в математике такой предел называют производной функции, т.е.

M д .    Г~2    2

^{p    ln}^^x + ^y

Дифференцирование легко выполняется методом подстановок. Пусть u = д/x² + y² ; u = x² + у². Тогда z = In u; z^f = — u';

u

^u ' ⁼ ~г^г (^u *) 2V u^v '

x

Уд —

M

x

M

2nx² + у²

Из чего следует, что линии тока и эквипотенциальные линии - окруж ности, касающиеся осей Ox и Оу в начале координат (рис. 6.11). Действительно, придавая функции тока постоянные значения, получаем:

x² + у² = Су

M

2nx² + у² (6.31)

Действуя аналогичным образом, можно показать, что

У

2Vx² + y²Jx² + y² x² + у

т.е. -d- lnJx² + y² = ₂ ^x ₂. dx ^    * x² + y²

2jx²+f ’

2x    1    x

Таким образом:

Рд

Имеем: u' —

где С — -

(6.32)

2П

x² + у² - Су +

С² = С² 4    4    ^;

сГ\ ₌ С

4 J 4

2

2

x +

Су +

V

V 2 J

а это и есть уравнения окружностей с разными центрами.

Рис. 6.11

6.9. Бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра.

Продолжим рассмотрение метода наложения потоков. Полученное в примере 6.5 течение, называемое диполем, на первый взгляд носит достаточно абстрактный характер. Однако, как будет показано ниже, такая точка зрения не совсем справедлива. Используя понятие диполя, можно получить весьма интересные и полезные для практических приложений результаты. Для подтверждения этого проанализируем течение, возникающее при наложении прямолинейного поступательного потока на диполь с центром, расположенным в начале координат. Прямолинейный поток движется вдоль оси Ох со скоростью, равной единице, т.е. и_х = u_Q = const; и_у = 0. Потенциал

скорости

d(p= u_xdx + Uydy

и (р_п = UqX с точностью до произвольной постоянной.

Функция тока dy/= u_xdy - u_ydx = u₀dy и y/= u₀y. Если, как

принято в условии, и₀ = 1, то (р_п = х и ц/ - у. Примем для упроще-

..    х

ния выкладок момент диполя М = 2ж, тогда (р_д -    ₂    ^и

X + у

у

Уд ⁼--2-2 ¦ Складывая потенциалы и функции тока, получаем

X + у

Найдем линии тока, для чего приравняем функцию тока постоянной: у/ = у--2~^——2 = С, откуда

X + у

у (х² + у²) - l] = С(х² + у²)    (6.33)

Из чего следует, что линии тока течения представляют семейство кривых третьего порядка. Найдем нулевую линию тока, т.е. линию, для которой С = 0. Это дает два уравнения:

у = 0 их + у =1,

т.е. линия тока представляет собой ось х-ов и окружность единичного радиуса с центром в начале координат (см. рис.

6.12). Это позволяет рассматривать окружность как твердую границу и течение вне ее, что приводит к задаче обтекания бесконечно длинного цилиндра. Покажем, что на доста-_{Рис 6 12}    точно    большом    удалении    от    ци-

линдра скорость направлена вдоль оси x и равна u= 1. Найдем проекции скоростей u_x и u_y.

\

2 2 ₀ 2 x + y - 2x

(x² + у² )²

dp d

= 1 +

Имеем: u_v =

x +

2 2 x + y J

dx    dx

У

x² - y²_;

x² + y²’

Откуда u_x = 1

\

2xy

¦

dp d

аналогично u_y =

x +

2 2 x + y

dy    dy

Для дальнейшего удобно перейти к полярным координатам, имея в виду, что x = r cose и y = r sin e. Подстановка этих значений в выражения для u_x и u_y дает:

, cos в- sin²в ux = 1--12--(6.34)

2 sin в cos#

(6.35)

= 0,

uy =

2

Перейдем к пределу. При r ^ да получаем u_x^ = 1 и u_y(_x)

т.е. то, что и требовалось доказать.

Точки B и A, показанные на рис. 6.12, являются так называемыми особыми либо критическими точками, т.к. скорость в них обращается в нуль. Покажем, что это действительно так, для чего запишем выражение для потенциала скорости в полярных координатах:

r cose

= r cose+ 1^Л

p — x +--5-tz

x² + y²

г

cose

(6.36)

r +

У    rJ

p

Найдем проекции скорости в произвольной точке на произвольной линии тока (рис. 6.13). Имеем:

dp d f 1^ „Л    1^Л

cose = 1

у

cose

r +

у rJ

^ur =

_r²J

dr

1 dp r de

dr

_f

1 +

у

r

\

1

cose = - 1 + ₂de    У    r    j

sin e.

^ue =

r^{2 J}

¦    На поверхности цилинд-

ра г = 1 и и_г = 0, т.е. обтекание безотрывно. Компонента и_в = -2 sin в. В общем случае, когда и₀₀*1,

и_в = -2 и_х sin в (6.37) Знак «минус» указывает на то, что направление скорости на верхней половине цилиндра противоположно положительному направлению от-^{Рис 113}    счета угла в. В точках в и Л

(sin в = 0) скорости равны нулю, т.е. действительно эти точки являются критическими.

6.10. Применение теории функций комплексного переменного к изучению плоских потоков идеальной жидкости.

Рассматриваемый ниже метод относится к числу наиболее эффективных способов анализа плоских потоков. Вернемся к полученным выше (см. 6.15) соотношениям Коши-Римана. Они показывают, что комплексная комбинация этих двух функций (т.е. (р и у/) от действительных переменных х и у, т.е. (р(х,у) + /у/(х,у), является аналитической функцией комплексного переменного z = х + iy Другими словами, эти условия показывают, что существует функция комплексной переменной W(z) либо просто И/, вещественная и мнимая

части которой ср и у/ соответственно, т.е.

l/l/(z) = (р + / у/ (либо W = (р+ /у/).

Функция W{z) называется аналитической в данной точке, если она дифференцируема как в самой точке , так и в некоторой ее окрестности. В гидромеханике функция W(z) называется комплексным потенциалом. Следует отметить, что теория аналитических функций является одной из наиболее разработанных ветвей классической математики. Обстоятельное изучение этого материала далеко выходит за рамки курса. Ограниченный объем данного пособия позволяет привести лишь весьма краткие сведения, необходимые для уяснения самой общей идеи метода. При необходимости подробное и обстоятельное изложение его можно найти в книге: Фильчаков П.Ф. Приближенные методы конформных отображений. - К.: Наукова думка, 1964. - 530 с.

Интересующиеся приложениями теории функций комплексного переменного для решения технических задач, в частности, задач гидромеханики, могут обратиться к книге: Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука,

1987. - 688 с.

Как показывается в теории функций комплексного переменного, производная от комплексного потенциала W = ф + iy по комплексному же переменному z = x + iy имеет вид

дф . дш

~^Т + in = U_x - iu_v дх дх ^{x y}

^dW    "    -•    (6.38)

dz

Это выражение называется комплексной скоростью. Модуль этой величины дает саму скорость, т.е.

^dW =^j U2 + Uj; = U    (6.39)

dz

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 6.6. Пусть течение задано комплексным потенциалом W = az², где a - действительное число. Имея в виду, что W = ф + iy и z = х + iy, можно записать:

Ф + iy = a(х + iy)² = ax² + 2aixy- ay² = a(x² - y²) + i2axy

Разделяя действительную и мнимую части, получаем:

Ф = a(x² - y²) и ш = 2axy.

Этот поток рассмотрен выше в примере 6.2. Обратим лишь внимание на то, что с помощью комплексного потенциала результат достигается более коротким путем.

Найдем комплексную скорость. Имеем:

dW

= Ux - iUy;

dz

u_v = ^ = 2ax ;

dW

dz dW

x² + y² = 2ar,

U=

dz

дx    ^yдy

= 2ax + i 2ay = 2a (x + iy) = 2az; ^U_y = ^2a^

дФ

u„ = —— = -2ay;

=    ,    l^Ux +

т.е. частицы движутся по гиперболическим линиям тока со скоростью u = 2ar.

6.11. Конформные отображения.

Геометрические преобразования, при которых величины углов между любыми двумя линиями, содержащимися в преобразуемой фигуре, не изменяются, называются конформными преобразованиями или отображениями. Широкое применение конформные отображения находят в гидромеханике. Обсудим лишь общую идею метода.

Рассмотрим две координатные сетки на плоскостях комплексных переменных z — x + iy и Z — %+ in (рис. 6.14).

В плоскости z имеется какая-то фигура (A), которую необходимо отобразить на плоскость Z Эта операция может быть выполнена при одном непременном условии: должно быть известно соотношение, устанавливающее связь Z и z, т.е. Z — f (z). Эта зависимость

носит название отображающей функции. Предположим, что она нам известна. Тогда, задавшись какой-то произвольной точкой на контуре A, например 1, можно вычислить z₁, и подставив это значение в отображающую функцию, найти значение Z и соответствующую точку на плоскости Z (1'). Повторив эти операции для точек 2, 3 и т.д., найдем 2', 3', ... . В результате этих действий получим контур B на плоскости Z, т.е. контур A отобразился в контур B. Такое преобразование получило название конформного. В теории функций комплексного переменного доказывается, что модуль производной р' (z) характеризует

изменение линейных размеров области при преобразовании, а аргумент ее определяет угол поворота радиуса-вектора. При этом преобразование, осуществляемое аналитической функцией, сохраняет эти углы во всех точках, где производная отображающей функции отличается от нуля. Теперь вопрос может быть сформулирован таким образом: какие же практические преимущества можно получить, используя метод конформных отображений?

Рис. 6.14

Остановимся лишь на одном, но крайне важном случае. Как известно, одной из главных задач расчета крыля является определение его подъемной силы. Для ее нахождения необходимо знать скорости частиц в каждой точке потока, обтекающего крыло. Крыловой профиль - достаточно сложная фигура, и рассчитать скорости теоретическим путем не представляется возможным. Но, как было показано выше, расчет легко выполняется для цилиндра. Поэтому задача была бы решена, если бы удалось заменить обтекание крылового профиля обтеканием цилиндра. Это можно сделать с помощью конформного отображения.

Рассмотрим рис. 6.15. Конформно отобразив фигуру, заштрихованную на рис. 6.15а (внешность профиля) на заштрихованную фигуру рис. 6.156 (внешность окружности) мы сводим задачу обтекания профиля к задаче обтекания цилиндра. Рассчитав скорость в любой точке цилиндра, обратным переходом можно найти скорость в соответствующей ей точке профиля.

Рис. 6.15

Нахождение вида отображающей функции, позволяющей осуществить требуемое конкретными условиями рассматриваемой задачи конформное отображение, является отдельным специальным вопросом. Решение рассмотренной выше задачи было найдено Н.Е.Жуковским. Отображающая функция в этом случае имеет вид

С 2\

г

(6.40)

Z + —

V

и носит название функции Жуковского.

7. ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

В механике жидкости понятию «гидродинамика» придается весьма широкий смысл. В настоящем пособии этот термин будет использоваться в его классическом значении, как раздел курса, который, в отличие от кинематики, рассматриваюшей движение жидкости без учета причин, обусловивших его, изучает как само движение, так и причины, приводящие к его возникновению. Движение жидкости вызывается действием сил, а если иметь в виду, что давление есть частное от деления силы на площадь, то можно считать, что причиной возникновения движения частиц с какими-то скоростями является разность (перепад) давлений. Таким образом, для расчета течений необходимо иметь уравнение, связывающее давление в точке со скоростью движения частицы.

7.1 Уравнения движения идеальной жидкости.

Уравнения движения идеальной жидкости можно получить из уравнений движения в напряжениях, положив в них все производные от т равными нулю и заменив нормальные напряжения давлениями, имея в виду, что p_xx = p_yy = p_zz = - p. Таким образом, уравнения гидродинамики принимают вид

Система (7.1) называется системой дифференциальных уравнений Эйлера для гидродинамики, она связывает давления и скорости в движущейся жидкости. Следует помнить, что выражения в правой части уравнений системы являются полными либо субстанциональными производными. Наличие конвективных членов ускорения приводит к тому, что система является нелинейной, содержащей четыре неизвестных: три проекции скорости и давление. Проекции единичных массовых сил обычно известны из постановки задачи.

Три уравнения (7.1) плюс уравнение неразрывности образуют замкнутую систему.

7.2 Преобразование Громеки-Лэмба.

Рассмотрение теоремы Гельмгольца о движении жидкой частицы показывает, что жидкость, как любое материальное тело, может участвовать в поступательном и вращательном движениях.

Следует обратить внимание на то, что для совершения работы в современных технических устройствах может использоваться только энергия поступательного движения. Энергия же вращательного (вихревого) движения полностью теряется, рассеивается в окружающей среде, превращаясь в теплоту.

Система уравнений Эйлера (7.4) не учитывает факт существования этих двух движений, что в определенной степени обедняет ее. Поэтому целесообразно использовать преобразование, позволяющее учесть эту особенность движения жидких частиц, называемое преобразованием Громеки-Лэмба. Формально оно сводится к тому, что в выражение для ускорения вводятся члены, характеризующие вращение жидких частиц.

Рассмотрим лишь одну компоненту:

dU_x

dU_x

dU_x

(7.3)

+ Ux

+ Uy

+ Uz

dt ' ~^x dx    ~^y dy    ~^z dz

Прибавим и вычтем в конвективной части ускорения выражение

а_х =

dU_x

du_y

dU_z

dx

+ Uz

Uy

^y dx

Скомпонуем члены с учетом знаков

r

\

dUy

dx

dU_s

1 d

1    dU_

2    dx

dU

^dUx

dx

/ 2 2 2\

(^U_x + ^U_y + ^U_z) =

U

+

U

+ U-.

2 dx

dU„

dx

J

d U_z

dx

^dUx

' dz

U

+ U.

U

+ Uz

^y

dy

dx

V

d U_v    dUz

= - U,

+ Uz

dx

dy

dz    dx

V

V

Выражения в скобках есть не что иное, как удвоенные компоненты вихря (o_z и co_y, т.е. можем записать

-2U_yy_z + 2U_zy_y = 2(U_zy_y - U_yw_z)

Подставляя полученные значения в (7.3) имеем

(7.4)

^ax =

+

^U yO z

z^y y

d U_v 1 dU²

+

dt    2 dx

и по аналогии

7.3 Уравнение движения в форме Громеки-Лэмба.

Если в (7.2) в правую часть подставить ускорение в виде (7.7)

либо (7.8), то это приводит к уравнению движения в форме Громеки-

Лэмба. Для установившегося движения имеем

r 1    u²    r r

F --grad p — grad + 2wx u    (7.9)

Выполним некоторые преобразования (7.9).

В разделе гидростатики было введено понятие о скалярной функции Ф, называемой силовой. Было показано, что

Xdx + Ydy + Zdz — dФ    (7.10)

Поскольку эта функция является полным дифференциалом, то можно записать

дФ . дФ . дФ . dФ —    dx dy + dz    (7.11)

дх dy ^J dz    ^{v 1}

Сопоставляя (7.10) и (7.11), получаем

дФ — X; дФ — y д — z

дх    дy    дz    ^{v 1}

¦ _

С другой стороны вектор F, проекциями которого являются X, Y, и Z

F — e_xX + e_yY + e_zZ    (7.13)

Из (7.12) и (7.13) следует, что

r r дФ г дФ г дФ дх + ^ey дy + ^Г дz С учетом (7.14) выражение (7.9) принимает вид

F — ex^r + ey    + ez^ — grad Ф    (7.14)

2 p

J

Следует иметь в виду, что эта форма записи справедлива лишь для несжимаемой жидкости, т.е. при условии p= const. И, наконец, уравнению движения (7.15) можно придать более удобную для анализа форму, умножив скалярно его левую и правую части на произвольный направленный отрезок

dl = ex dx + e_ydy + e dz    (7.16)

Опуская эту операцию, которую обучающийся при желании может выполнить самостоятельно, приведем лишь конечный результат

2

u

2

d

(7.17)

v

7.4 Интегрирование уравнения движения для установившегося течения

Интегрирование уравнения движения (7.17) возможно лишь в случае, когда его правая часть равна нулю. Из теории определителей известно, что признаками равенства нулю являются: равенство нулю какой-либо строки или пропорциональность элементов одной строки элементам другой.

Исходя из физического смысла имеем четыре возможных случая:

(7.18)

(7.19)

(7.20)

(7.21)

ux

uz